Dynamique/Moment cinétique et théorèmes s'y rapportant

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Observations expérimentales

Prenons l'exemple très simple d'une porte gondée. N'importe quelle expérimentateur peut se rendre compte aisément que

• l'aisance avec laquelle il fait tourner la porte augmente s'il impose une plus grande force à cette porte
• l'aisance avec laquelle il fait tourner la porte augmenter si le point de la porte sur lequel il pousse est "loin" des gonds, c'est-à-dire de l'axe de rotation de la porte (c'est pour cela que les poignées de portes sont placées à l'opposée des gonds).

Le but de ce chapitre va donc être de savoir quelle interprétation les lois de Newton peuvent donner à ces observations expérimentales. Nous basant sur ces remarques, nous définirons de nouveaux objets physiques, le moment d'inertie et le moment cinétique, et verrons quels résultats nous pouvons obtenir.

Remarque : En toute rigueur, la porte considérée dans l'expérience de pensée ci-dessus ne peut être assimilée à une masse ponctuelle, et donc pour pleinement interpréter l'expérience il faudrait utiliser la physique du solide.

Moment d'une force

Moment vectoriel

Soit $\mathbf {F}$ une force s'appliquant en un point $M$ de l'espace, et soit $O$ un autre point quelconque de l'espace.

On appelle moment de $\mathbf {F}$ par rapport à $O$ le vecteur $\mathbf {M} _{O}(\mathbf {F} )=\mathbf {OM} \wedge \mathbf {F}$

Soit $O'$ un autre point de l'espace. On a

$$\mathbf {M} _{O'}(\mathbf {F} )=\mathbf {O'M} \wedge \mathbf {F} =(\mathbf {O'O} +\mathbf {OM} )\wedge \mathbf {F} =\mathbf {OO'} \wedge \mathbf {F} +\mathbf {OM} \wedge \mathbf {F} =\mathbf {M} _{O}(\mathbf {F} )+\mathbf {OO'} \wedge \mathbf {F}$$

Donc

$$\mathbf {M} _{O'}(\mathbf {F} )=\mathbf {M} _{O}(\mathbf {F} )+\mathbf {OO'} \wedge \mathbf {F}$$

Exemple : Calcul du moment du poids

Cet exemple est purement illustratif et ne nécessite pas d'être retenu.

On se place en coordonnées cartésiennes (axe z montant).

On a alors $\mathbf {OM} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}$ et $\mathbf {P} =-mg\mathbf {e} _{z}$.

Il vient alors $\mathbf {M} _{O}(\mathbf {P} )=(x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z})\wedge mg\mathbf {e} _{z}=mg(x\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{z}+y\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z})=mg(y\mathbf {e} _{x}-x\mathbf {e} _{y})$

Moment scalaire

Soit $\Delta$ un axe porté par un vecteur $\mathbf {u}$ unitaire, et $O$ un point quelconque de cet axe.

On appelle moment scalaire la quantité ${\mathcal {M}}_{\Delta }(\mathbf {F} )=\mathbf {M} _{O}(\mathbf {F} ).\mathbf {u}$

Cette quantité ne dépend pas du point $O$ choisi (en effet, soit deux points $O$ et $O'$ de l'axe, $\mathbf {M} _{O}(\mathbf {F} ).\mathbf {u} =\mathbf {M} _{O}'(\mathbf {F} ).\mathbf {u} +(\mathbf {OO'} \wedge \mathbf {F} ).\mathbf {u}$ et $\mathbf {OO'}$ est colinéaire à $\mathbf {u}$, le produit scalaire s'annule donc).

Applications du théorème du moment cinétique

Le théorème du moment cinétique est un théorème permettant de déterminer l'équation différentielle du mouvement d'un point, au même titre que la Deuxième Loi de Newton ou le théorème de la puissance cinétique (ou mécanique).

Le moment cinétique et le moment des forces sont deux grandeurs qui ont été inventées pour traiter de façon plus élégante les mouvements circulaires (ou présentant au moins une géométrie pseud`). Aussi traiterons-nous dans cette partie l'exemple du pendule simple.