Leçons de niveau 12

Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée

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Autour de la dérivée
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Exercices no3
Leçon : Dérivation

Ces exercices sont de niveau 12.

Exo préc. : Calcul de dérivées
Exo suiv. : Développement limité d'ordre 1
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Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Étudier la dérivabilité sur de la fonction définie par :

( désignant la fonction « partie entière »)


Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Étudier la dérivabilité sur de la fonction définie par :


Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit des fonctions dérivables sur un intervalle I, et ne s'annulant pas sur cet intervalle.

 Pour , calculer

 Pour , calculer

 Généraliser pour .

 En déduire que la dérivée de est

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

On pose :

 Déterminer pour que :

 Calculer alors .

 Prouver que est alors de la forme :

est un polynôme que l'on déterminera.


Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme :

admette pour racine la racine de son polynôme dérivé.


Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme :

soit tel que :

 Le polynôme dérivé admettent des racines et que l'une des racines soit également une racine du polynôme donné.

 Le polynôme dérivé admettent des racines, toutes deux également racines du polynôme donné.


Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer un polynôme du troisième degré tel que :


Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que, si une fonction est paire, sa dérivée est impaire et que si une fonction est impaire, sa dérivée est paire.


Exercice 3-9[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que, si et sont deux fonctions dérivable en zéro, telles que de plus et , alors :


Exercice 3-10[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que si f est une fonction dérivable en , alors :


Exercice 3-11[modifier | modifier le wikicode]

Préciser la fonction telle que :

En déduire une expression de chacune des sommes :

;

.