Leçons de niveau 12

Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée

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Autour de la dérivée
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Exercices no3
Leçon : Dérivation

Ces exercices sont de niveau 12.

Exo préc. :Calcul de dérivées
Exo suiv. :Tangente à une courbe
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Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Étudier la dérivabilité sur de la fonction définie par :

( désignant la fonction « partie entière »).

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Étudier la dérivabilité sur de la fonction définie par :

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient des fonctions dérivables sur un intervalle, et ne s'annulant pas sur cet intervalle.

  1. Pour , calculer .
  2. Généraliser pour .
  3. En déduire que la dérivée de est .

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

On pose :

.

 Déterminer pour que :

.

 Calculer alors .

 Prouver que est alors de la forme :

est un polynôme que l'on déterminera.

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme admette pour racine la racine de son polynôme dérivé.

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme soit tel que son polynôme dérivé admette

  1. au moins une racine qui soit également racine de  ;
  2. deux racines qui soient également racines de .

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer un polynôme du troisième degré tel que :

Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient tel que , et une fonction dérivable. Prouver que si est paire alors est impaire et que si est impaire alors est paire.

Exercice 3-9[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que si et sont deux fonctions dérivable en zéro, telles que de plus et , alors :

.

Exercice 3-10[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que si f est une fonction dérivable en , alors :

.

Exercice 3-11[modifier | modifier le wikicode]

Préciser la fonction telle que :

.

En déduire une expression de chacune des sommes :

 ;
.