Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée

Exercice 3-1

Étudier la dérivabilité sur $\mathbb {R}$ de la fonction $f$ définie par :

$f(x)=E(x)\sin ^{2}(\pi x)$

($E$ désignant la fonction « partie entière »).

Solution

$f$ est évidemment dérivable sur chaque intervalle ouvert $\left]n,n+1\right[$ (avec $n\in \mathbb {Z}$) et dérivable à droite en $n$, de dérivée (à droite) en ce point égale à $2n\sin(\pi n)\cos(\pi n)=0$.

Elle est aussi dérivable à gauche en ce point et de dérivée (à gauche en ce point) nulle, donc finalement, dérivable sur $\mathbb {R}$.

En effet, quand $h\to 0^{-}$, ${\frac {f(n+h)-f(n)}{h}}={\frac {\left(n-1\right)\sin ^{2}(\pi (n+h))}{h}}=\left(n-1\right){\frac {\sin ^{2}(\pi h)}{h}}\sim \left(n-1\right)\pi ^{2}h\to 0$.

 

Exercice 3-2

Étudier la dérivabilité sur $\mathbb {R}$ de la fonction $f$ définie par :

$f(x)={\begin{cases}{\frac {{\sqrt {1+x}}-1}{\sqrt {x}}}&{\text{si }}x>0,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$

Solution

$f$ est évidemment dérivable sur $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ et de dérivée à gauche nulle en 0. Elle est également continue en 0, mais pas dérivable à droite en ce point car

quand $x\to 0^{+}$, ${\frac {f(x)-f(0)}{x}}={\frac {{\sqrt {1+x}}-1}{x^{3/2}}}\sim {\frac {x/2}{x^{3/2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\to +\infty$

 

Les fonctions suivantes, définies sur $\mathbb {R}$, sont-elles dérivables en $0$ ?

$f:x\mapsto {\sqrt {|x|}},\quad g:x\mapsto |x|,\quad h:x\mapsto |x|^{3}$.

Solution

Non pour $f$ car $\lim _{x\to 0^{\pm }}{\frac {\sqrt {|x|}}{x}}=\pm \infty$.

Non pour $g$ car $\lim _{x\to 0^{\pm }}{\frac {|x|}{x}}=\pm 1$ donc on a seulement un nombre dérivé à droite ($1$) et un nombre dérivé à gauche ($-1$).

En revanche, $h'(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {|x|^{3}}{x}}=\lim _{x\to 0}|x|x=0$.

 

Exercice 3-3

Soient $u,\,v,\,w,\,u_{1},\,u_{2},\,\cdots ,\,u_{n}$ des fonctions dérivables sur un intervalle, et ne s'annulant pas sur cet intervalle.

1. Pour $y=uv$, calculer ${\frac {y'}{y}}$.
2. Généraliser pour $w=u_{1}u_{2}\cdots u_{n}$.
3. En déduire que la dérivée de $u^{n}$ est $nu^{n-1}u'$.

Solution

1. ${\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}$.
2. On en déduit que ${\frac {(u_{1}u_{2}\cdots u_{n})'}{u_{1}u_{2}\cdots u_{n}}}={\frac {u_{1}'}{u_{1}}}+\dots +{\frac {u_{n}'}{u_{n}}}$, par récurrence sur $n$.
3. En particulier, ${\frac {(u^{n})'}{u^{n}}}=n{\frac {u'}{u}}$.

 

Exercice 3-4

On pose :

$P(x)=5x^{3}+ax^{2}+bx+c$.

1°  Déterminer $k$ pour que :

$\forall x\in \mathbb {R} \qquad P(x)+k\left(x-1\right)P'(x)+\left(x^{2}-1\right)P''(x)=0$.

2°  Calculer alors $a,\,b,\,c$.

3°  Prouver que $P(x)$ est alors de la forme :

$P(x)=\left(x-1\right)Q(x)$

où $Q(x)$ est un polynôme que l'on déterminera.

Solution

1°  Pour que $P+k\left(X-1\right)P'+\left(X^{2}-1\right)P''=0$, il faut avant tout que $P(1)=0$, c'est-à-dire $c=-5-a-b$, et l'on a alors

$P=5\left(X^{3}-1\right)+a\left(X^{2}-1\right)+b\left(X-1\right)=\left(X-1\right)Q$ pour $Q=5\left(X^{2}+X+1\right)+a\left(X+1\right)+b$, donc le polynôme

${\begin{aligned}{\frac {P+k\left(X-1\right)P'+\left(X^{2}-1\right)P''}{X-1}}&=Q+kP'+\left(X+1\right)P''\\&=5\left(X^{2}+X+1\right)+a\left(X+1\right)+b+k\left(15X^{2}+2aX+b\right)+\left(X+1\right)\left(30X+2a\right)\\&=5X^{2}\left(7+3k\right)+X\left(3a+b+2ak+35\right)+5+3a+kb\end{aligned}}$

est nul si et seulement si $k=-{\frac {7}{3}}$, $b-{\frac {5}{3}}a+35=0$ et $5+3a-{\frac {7}{3}}b=0$.

2°  $a={\frac {195}{2}}$, $b={\frac {255}{2}}$, $c=-230$.

3°  Cf. 1°.

 

Exercice 3-5

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme $x^{2}+px+q$ admette pour racine la racine de son polynôme dérivé.

Solution

$0=(-p/2)^{2}+p(-p/2)+q=0\Leftrightarrow p^{2}=4q$.

 

Exercice 3-6

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme $P(x)=x^{3}+px+q$ soit tel que son polynôme dérivé admette

1. au moins une racine qui soit également racine de $P$ ;
2. deux racines qui soient également racines de $P$.

Solution

1. $P$ a une racine double $a$ si $X^{3}+pX+q=\left(X-a\right)^{2}\left(X+2a\right)$, c'est-à-dire $p=-3a^{2}$ et $q=2a^{3}$. Il existe un tel $a$ si et seulement si $\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}=\left(-{\frac {p}{3}}\right)^{3}$, c'est-à-dire $4p^{3}+27q^{2}=0$.
2. $P$ ne peut pas avoir deux racines doubles puisqu'il n'est que de degré $3$.

 

Exercice 3-7

Déterminer un polynôme $P(x)$ du troisième degré tel que :

${\begin{cases}P'''(x)=6\\P(x)-{\frac {x}{3}}P'(x)+P''(x)=0.\end{cases}}$

Solution

Soit $P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$. Alors, $P'''=6a$ et $P-{\frac {x}{3}}P'+P''={\frac {b}{3}}X^{2}+{\frac {2c}{3}}X+2b+d$ donc la solution est $a=1,b=0,c=-9,d=0$, c'est-à-dire $P=X^{3}-9X$.

 

Exercice 3-8

Soient $I\subset \mathbb {R}$ tel que $-I=I$, et $f:I\to \mathbb {R}$ une fonction dérivable. Prouver que si $f$ est paire alors $f'$ est impaire et que si $f$ est impaire alors $f'$ est paire.

Solution

Soit $\varepsilon =\pm 1$. Si $\forall x\in I\quad f(-x)=\varepsilon f(x)$ alors $\forall x\in I\quad -f'(-x)=\varepsilon f'(x)$.

 

Exercice 3-9

Prouver que si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables en zéro, telles que $f(0)=g(0)=0$ et $g'(0)\neq 0$, alors :

$\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(0)}{g'(0)}}$.

Solution

Voir Limites d'une fonction/Exercices/Lever une indétermination#Règle simple de L'Hôpital.

 

Exercice 3-10

Démontrer que si f est une fonction dérivable en $x_{0}$, alors :

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {xf(x_{0})-x_{0}f(x)}{x-x_{0}}}=f(x_{0})-x_{0}f'(x_{0})$.

Solution

${\frac {xf(x_{0})-x_{0}f(x)}{x-x_{0}}}-f(x_{0})=-x_{0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$.

 

Exercice 3-11

Préciser la fonction $f$ telle que :

$f(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{n}$.

En déduire une expression de chacune des sommes :

$S(x)=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots +nx^{n-1}$ ;

$S_{1}(x)=2+6x+12x^{2}+20x^{3}+\cdots +n(n-1)x^{n-2}$.

Solution

$f(1)=n+1$ et $\forall x\neq 1\quad f(x)={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$.

$\forall x\neq 1\quad S(x)=f'(x)={\frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}$. Puisque $S$ est continue, $S(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {n(1+h)^{n+1}-(n+1)(1+h)^{n}+1}{h^{2}}}$ donc (par la formule du binôme) $S(1)={\frac {n(n+1)}{2}}$.

De même, $\forall x\neq 1\quad S_{1}(x)=S'(x)={\frac {n(n-1)x^{n+1}-2(n^{2}-1)x^{n}+n(n+1)x^{n-1}-2}{(x-1)^{3}}}$ et $S_{1}(1)={\frac {n(n^{2}-1)}{3}}$.