Dérivation/Exercices/Tangente à une courbe

Exercice 4-1

Soit $f$ une fonction définie par :

$f(x)=x^{2}-3x+5$

Calculer la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse $x_{0}=2$.

Solution

Le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée, calculons donc la dérivée :

$f'(x)=2x-3$

Si $y=ax+b$ est l'équation de la tangente, on aura donc :

$a=f'(x_{0})=f'(2)=2\times 2-3=1$

Le point de la courbe d'abscisse $2$ a pour ordonnée :

$y_{0}=f(2)=2^{2}-3\times 2+5=3$

La tangente passe donc par le point de coordonnées $(2,\,3)$, on en déduit :

$b=y_{0}-ax_{0}=3-1\times 2=1$

L'équation de la tangente est donc :

$y=x+1$

 

Exercice 4-2

Soit $f$ une fonction définie par :

$f(x)={\frac {x+3}{x+1}}$.

Calculer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.

Solution

Le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée, calculons donc la dérivée :

$f'(x)={\frac {1\times (x+1)-(x+3)\times 1}{(x+1)^{2}}}=-{\frac {2}{(x+1)^{2}}}$

Si $y=ax+b$ est l'équation de la tangente, on aura donc :

$a=f'(1)=-{\frac {2}{2^{2}}}=-{\frac {1}{2}}$

Le point de la courbe d'abscisse $1$ a pour ordonnée :

$f(1)={\frac {1+3}{1+1}}=2$

La tangente passe donc par le point de coordonnées $(1,2)$ ; on en déduit :

$b=f(1)-a\times 1=2+{\frac {1}{2}}={\frac {5}{2}}$.

L'équation de la tangente est donc :

$y=-{\frac {x}{2}}+{\frac {5}{2}}$.

 

Exercice 4-3

1. Calculer l'équation de la tangente à l'hyperbole d'équation $xy=1$, en un point arbitraire $(a,1/a)$.
2. Pour quelles valeurs de $c$ la droite d'équation $y=c-2x$ est-elle tangente à l'hyperbole ?

Solution

1. Cette hyperbole est la courbe représentative de $f(x)={\frac {1}{x}}$.
   $f'(a)=-{\frac {1}{a^{2}}}$ donc la tangente a pour équation $y={\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}(x-a)$, soit $y=-{\frac {x}{a^{2}}}+{\frac {2}{a}}$.
2. D'après la question 1, un réel $c$ est solution s'il existe $a$ tel qu'on ait à la fois $-{\frac {1}{a^{2}}}=-2$ et ${\frac {2}{a}}=c$, c'est-à-dire $a=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$ et $c=\pm 2{\sqrt {2}}$.
   Ou directement : l'équation $x(c-2x)=1$ a une racine double si et seulement si son discriminant $c^{2}-8$ est nul…

 

Lien externe

« Tangente à une courbe (calculateur en ligne) », sur dcode.fr