Dérivation/Exercices/Tangente à une courbe

Exercice 4-1

Soit $f$ une fonction définie par :

$f(x)=x^2-3x+5$

Calculer la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse $x_0=2$.

Solution

Le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée, calculons donc la dérivée :

$f^{\prime }(x)=2x-3$

Si $y=ax+b$ est l'équation de la tangente, on aura donc :

$a=f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(2)=2\times 2-3=1$

Le point de la courbe d'abscisse $2$ a pour ordonnée :

$y_0=f(2)=2^2-3\times 2+5=3$

La tangente passe donc par le point de coordonnées $(2,3)$, on en déduit :

$b=y_0-a{x}_0=3-1\times 2=1$

L'équation de la tangente est donc :

$y=x+1$

 

Exercice 4-2

Soit $f$ une fonction définie par :

$f(x)=\frac{x+3}{x+1}$.

Calculer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.

Solution

Le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée, calculons donc la dérivée :

$f^{\prime }(x)=\frac{1\times (x+1)-(x+3)\times 1}{(x+1{)}^2}=-\frac{2}{(x+1{)}^2}$

Si $y=ax+b$ est l'équation de la tangente, on aura donc :

$a=f^{\prime }(1)=-\frac{2}{2^2}=-\frac{1}{2}$

Le point de la courbe d'abscisse $1$ a pour ordonnée :

$f(1)=\frac{1+3}{1+1}=2$

La tangente passe donc par le point de coordonnées $(1,2)$ ; on en déduit :

$b=f(1)-a\times 1=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.

L'équation de la tangente est donc :

$y=-\frac{x}{2}+\frac{5}{2}$.

 

Exercice 4-3

1. Calculer l'équation de la tangente à l'hyperbole d'équation $xy=1$, en un point arbitraire $(a,1/a)$.
2. Pour quelles valeurs de $c$ la droite d'équation $y=c-2x$ est-elle tangente à l'hyperbole ?

Solution

1. Cette hyperbole est la courbe représentative de $f(x)=\frac{1}{x}$.
   $f^{\prime }(a)=-\frac{1}{a^2}$ donc la tangente a pour équation $y=\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}(x-a)$, soit $y=-\frac{x}{a^2}+\frac{2}{a}$.
2. D'après la question 1, un réel $c$ est solution s'il existe $a$ tel qu'on ait à la fois $-\frac{1}{a^2}=-2$ et $\frac{2}{a}=c$, c'est-à-dire $a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ et $c=\pm 2\sqrt{2}$.
   Ou directement : l'équation $x(c-2x)=1$ a une racine double si et seulement si son discriminant $c^2-8$ est nul…

 

Lien externe

« Tangente à une courbe (calculateur en ligne) », sur dcode.fr