Dérivation/Exercices/Calcul de dérivées

Exercice 2-1

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1°  $f(x)=5x^{2}+2x-7$ ;

2°  $f(x)=4x^{3}-2x^{2}+2x+3$ ;

3°  $f(x)=(x+2)(x+3)$ ;

4°  $f(x)=(2x-5)(3x+1)$.

Solution

1. $f'(x)=10x+2$ ;
2. $f'(x)=12x^{2}-4x+2$ ;
3. $f(x)=2x+5$ ;
4. $f(x)=12x-13$.

 

Exercice 2-2

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1°  $f(x)=\left(2x+{\frac {1}{x}}\right)(x^{2}+1)$ ;

2°  $f(x)=(x+2)(5-x)(x-1)$ ;

3°  $f(x)=(x+1)^{5}(x-2)^{3}$ ;

4°  $f(x)=(x-1)^{3}(x-3)^{5}(x-5)^{7}$.

Solution

1. $f(x)=2x^{3}+3x+{\frac {1}{x}}$ donc $f'(x)=6x^{2}+3-{\frac {1}{x^{2}}}$ ;
2. $f(x)=-x^{3}+4x^{2}+7x-10$ donc $f'(x)=-3x^{2}+8x+7$ ;
3. $f'(x)=(x+1)^{4}(x-2)^{2}\left(5(x-2)+3(x+1)\right)=(x+1)^{4}(x-2)^{2}(8x-7)$ ;
4. $f(x)=(x-1)^{2}(x-3)^{4}(x-5)^{6}\left(3(x^{2}-8x+15)+5(x^{2}-6x+5)+7(x^{2}-4x+3)\right)=(x-1)^{2}(x-3)^{4}(x-5)^{6}\left(15x^{2}-82x+91\right)$.

 

Exercice 2-3

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1°  $f(x)={\frac {x+2}{x-1}}$ ;

2°  $f(x)={\frac {2-x}{2+x}}$ ;

3°  $f(x)={\frac {3x-1}{5x+2}}$ ;

4°  $f(x)={\frac {5-2x}{7x-4}}$.

Solution

Si $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ alors $f'(x)={\frac {ad-bc}{(cx+d)^{2}}}$.

 

Exercice 2-4

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1. $f(x)={\frac {2x^{2}-5x-3}{5x^{2}-8x-10}}$ ;
2. $f(x)={\frac {x^{2}-2x+3}{x^{2}-x+2}}$ ;
3. $f(x)={\frac {x^{2}-5x+7}{x^{2}-2x+1}}$ ;
4. $f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}}$ ;
5. $f(x)={\frac {2x+1}{4x^{2}+3x+1}}$ ;
6. $f(x)={\frac {3x^{2}-2x+1}{x-2}}$.

Solution

Si $f(x)={\frac {ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}}$, alors $f'(x)={\frac {\left(2ax+b\right)\left(px^{2}+qx+r\right)-\left(ax^{2}+bx+c\right)\left(2px+q\right)}{\left(px^{2}+qx+r\right)^{2}}}={\frac {\left(aq-bp\right)x^{2}+2\left(ar-cp\right)x+br-cq}{\left(px^{2}+qx+r\right)^{2}}}$.

 

Exercice 2-5

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1. $f(x)=\left({\frac {x-1}{x-2}}\right)^{3}$ ;
2. $f(x)={\frac {\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}}{x^{2}+3x-4}}$.

Solution

1. Si $f(x)=\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{n}$, alors $f'(x)=n\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{n-1}{\frac {ad-bc}{\left(cx+d\right)^{2}}}=n\left(ad-bc\right){\frac {\left(ax+b\right)^{n-1}}{\left(cx+d\right)^{n+1}}}$ ;
2. $f'(x)={\frac {2\left(x+1\right)\left(x+2\right)^{2}}{x^{2}+3x-4}}+{\frac {2\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)}{x^{2}+3x-4}}-{\frac {\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}\left(2x+3\right)}{\left(x^{2}+3x-4\right)^{2}}}={\frac {\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(2x+3\right)\left(x^{2}+3x-10\right)}{\left(x^{2}+3x-4\right)^{2}}}$.

 

Exercice 2-6

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1°  $f(x)={\sqrt {x^{2}+1}}$ ;

2°  $f(x)={\frac {1+{\sqrt {3x+2}}}{2x+7}}$ ;

3°  $f(x)=\left(3x^{2}-5x+1\right){\sqrt {5x-3}}$ ;

4°  $f(x)={\sqrt {\frac {3x^{2}-5x+2}{2x+1}}}$.

Solution

1. $f'(x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$ ;
2. $f'(x)={\frac {{\frac {3\left(2x+7\right)}{2{\sqrt {3x+2}}}}-2\left(1+{\sqrt {3x+2}}\right)}{\left(2x+7\right)^{2}}}$ ;
3. $f'(x)=\left(6x-5\right){\sqrt {5x-3}}+{\frac {5\left(3x^{2}-5x+1\right)}{2{\sqrt {5x-3}}}}={\frac {75x^{2}-111x+35}{2{\sqrt {5x-3}}}}$ ;
4. $f'(x)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2x+1}{3x^{2}-5x+2}}}{\frac {\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)-2\left(3x^{2}-5x+2\right)}{\left(2x+1\right)^{2}}}={\frac {3x^{2}+3x-9/2}{\sqrt {\left(3x^{2}-5x+2\right)\left(2x+1\right)^{3}}}}$.

 

Exercice 2-7

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1°  $f(x)={\frac {2x+3}{x^{2}-{\sqrt {3x+1}}}}$ ;

2°  $f(x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+2}}}{\sqrt {2x+3}}}$ ;

3°  $f(x)={\frac {3x+1}{x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}}}$ ;

4°  $f(x)={\frac {2x+{\sqrt {6x-1}}}{x^{2}-{\sqrt {4x+3}}}}$.

Solution

1°  $f'(x)={\frac {2\left(x^{2}-{\sqrt {3x+1}}\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-{\frac {3}{2{\sqrt {3x+1}}}}\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {3x+1}}\right)^{2}}}=-{\frac {2x^{2}+3x+{\frac {18x+13}{2{\sqrt {3x+1}}}}}{\left(x^{2}-{\sqrt {3x+1}}\right)^{2}}}$ ;

2°  $f'(x)={\frac {\left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right){\sqrt {2x+3}}-{\frac {x+{\sqrt {x^{2}+2}}}{\sqrt {2x+3}}}}{2x+3}}={\frac {\left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right)\left(2x+3\right)-\left(x+{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}{\left(2x+3\right)^{3/2}}}={\frac {x+3+{\frac {x^{2}+3x-2}{\sqrt {x^{2}+2}}}}{\left(2x+3\right)^{3/2}}}$ ;

3°  $f'(x)={\frac {3\left(x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}\right)-\left(3x+1\right)\left(1-{\frac {x-1}{\sqrt {x^{2}-2x+3}}}\right)}{\left(x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}\right)^{2}}}={\frac {-3+{\frac {4x-10}{\sqrt {x^{2}-2x+3}}}}{\left(x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}\right)^{2}}}$ ;

4°  $f'(x)={\frac {\left(2+{\frac {3}{\sqrt {6x-1}}}\right)\left(x^{2}-{\sqrt {4x+3}}\right)-\left(2x+{\sqrt {6x-1}}\right)\left(2x-{\frac {2}{\sqrt {4x+3}}}\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {4x+3}}\right)^{2}}}$.

 

Exercice 2-8

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1°  $f(x)={\sqrt {2x+{\sqrt {5x+2}}}}$ ;

2°  $f(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+7}}}$ ;

3°  $f(x)=\left({\frac {1+{\sqrt {3x^{2}-1}}}{2x-1}}\right)^{2}$ ;

4°  $f(x)={\sqrt {\frac {1}{x-{\sqrt {x^{2}+3}}}}}$.

Solution

1°  $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {2x+{\sqrt {5x+2}}}}}}\left(2+{\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}\right)$ ;

2°  $f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+7}}}=-{\frac {x}{\left(x^{2}+7\right)^{3/2}}}$ ;

3°  $f'(x)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{2x-1}}\;{\frac {{\frac {3x}{\sqrt {3x^{2}-1}}}(2x-1)-2\left(1+{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{(2x-1)^{2}}}={\frac {2\left(1+{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)\left(-3x+2-2{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{(2x-1)^{3}{\sqrt {3x^{2}-1}}}}={\frac {2\left(-6x^{2}-3x+4-3x{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{(2x-1)^{3}{\sqrt {3x^{2}-1}}}}$ ;

4°  $f'(x)=-{\frac {1-{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+3}}}}{2\left(x-{\sqrt {x^{2}+3}}\right)^{3/2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x-{\sqrt {x^{2}+3}}}}{\sqrt {x^{2}+3}}}}$.