Dérivation/Exercices/Calcul de dérivées

**Calcul de dérivées**
Leçon : Dérivation

Page d'exercices n^o 2

Exercices de niveau 12.
Exo préc. :	Restitution organisée de connaissances
Exo suiv. :	Autour de la dérivée

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Dérivation/Exercices/Calcul de dérivées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exercice 2-1

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1° $f (x) = 5 x^{2} + 2 x - 7$ ;

2° $f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 3$ ;

3° $f (x) = (x + 2) (x + 3)$ ;

4° $f (x) = (2 x - 5) (3 x + 1)$ .

Solution

$f^{'} (x) = 10 x + 2$ ;
$f^{'} (x) = 12 x^{2} - 4 x + 2$ ;
$f (x) = 2 x + 5$ ;
$f (x) = 12 x - 13$ .

Exercice 2-2

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1° $f (x) = (2 x + \frac{1}{x}) (x^{2} + 1)$ ;

2° $f (x) = (x + 2) (5 - x) (x - 1)$ ;

3° $f (x) = (x + 1)^{5} (x - 2)^{3}$ ;

4° $f (x) = (x - 1)^{3} (x - 3)^{5} (x - 5)^{7}$ .

Solution

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x + \frac{1}{x}$ donc $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 3 - \frac{1}{x^{2}}$ ;
$f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} + 7 x - 10$ donc $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 8 x + 7$ ;
$f^{'} (x) = (x + 1)^{4} (x - 2)^{2} (5 (x - 2) + 3 (x + 1)) = (x + 1)^{4} (x - 2)^{2} (8 x - 7)$ ;
$f (x) = (x - 1)^{2} (x - 3)^{4} (x - 5)^{6} (3 (x^{2} - 8 x + 15) + 5 (x^{2} - 6 x + 5) + 7 (x^{2} - 4 x + 3)) = (x - 1)^{2} (x - 3)^{4} (x - 5)^{6} (15 x^{2} - 82 x + 91)$ .

Exercice 2-3

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1° $f (x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ ;

2° $f (x) = \frac{2 - x}{2 + x}$ ;

3° $f (x) = \frac{3 x - 1}{5 x + 2}$ ;

4° $f (x) = \frac{5 - 2 x}{7 x - 4}$ .

Solution

Si $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ alors $f^{'} (x) = \frac{a d - b c}{(c x + d)^{2}}$ .

Exercice 2-4

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 5 x - 3}{5 x^{2} - 8 x - 10}$ ;
$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} - x + 2}$ ;
$f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} - 2 x + 1}$ ;
$f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} - x + 1}$ ;
$f (x) = \frac{2 x + 1}{4 x^{2} + 3 x + 1}$ ;
$f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ .

Solution

Si $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{p x^{2} + q x + r}$ , alors $f^{'} (x) = \frac{(2 a x + b) (p x^{2} + q x + r) - (a x^{2} + b x + c) (2 p x + q)}{{(p x^{2} + q x + r)}^{2}} = \frac{(a q - b p) x^{2} + 2 (a r - c p) x + b r - c q}{{(p x^{2} + q x + r)}^{2}}$ .

Exercice 2-5

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

$f (x) = {(\frac{x - 1}{x - 2})}^{3}$ ;
$f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{x^{2} + 3 x - 4}$ .

Solution

Si $f (x) = {(\frac{a x + b}{c x + d})}^{n}$ , alors $f^{'} (x) = n {(\frac{a x + b}{c x + d})}^{n - 1} \frac{a d - b c}{{(c x + d)}^{2}} = n (a d - b c) \frac{{(a x + b)}^{n - 1}}{{(c x + d)}^{n + 1}}$ ;
$f^{'} (x) = \frac{2 (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x^{2} + 3 x - 4} + \frac{2 {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{x^{2} + 3 x - 4} - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}} = \frac{(x + 1) (x + 2) (2 x + 3) (x^{2} + 3 x - 10)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$ .

Exercice 2-6

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1° $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ ;

2° $f (x) = \frac{1 + \sqrt{3 x + 2}}{2 x + 7}$ ;

3° $f (x) = (3 x^{2} - 5 x + 1) \sqrt{5 x - 3}$ ;

4° $f (x) = \sqrt{\frac{3 x^{2} - 5 x + 2}{2 x + 1}}$ .

Solution

$f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ;
$f^{'} (x) = \frac{\frac{3 (2 x + 7)}{2 \sqrt{3 x + 2}} - 2 (1 + \sqrt{3 x + 2})}{{(2 x + 7)}^{2}}$ ;
$f^{'} (x) = (6 x - 5) \sqrt{5 x - 3} + \frac{5 (3 x^{2} - 5 x + 1)}{2 \sqrt{5 x - 3}} = \frac{75 x^{2} - 111 x + 35}{2 \sqrt{5 x - 3}}$ ;
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 x + 1}{3 x^{2} - 5 x + 2}} \frac{(6 x - 5) (2 x + 1) - 2 (3 x^{2} - 5 x + 2)}{{(2 x + 1)}^{2}} = \frac{3 x^{2} + 3 x - 9 / 2}{\sqrt{(3 x^{2} - 5 x + 2) {(2 x + 1)}^{3}}}$ .

Exercice 2-7

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1° $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2} - \sqrt{3 x + 1}}$ ;

2° $f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{2 x + 3}}$ ;

3° $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - \sqrt{x^{2} - 2 x + 3}}$ ;

4° $f (x) = \frac{2 x + \sqrt{6 x - 1}}{x^{2} - \sqrt{4 x + 3}}$ .

Solution

1° $f^{'} (x) = \frac{2 (x^{2} - \sqrt{3 x + 1}) - (2 x + 3) (2 x - \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}})}{{(x^{2} - \sqrt{3 x + 1})}^{2}} = - \frac{2 x^{2} + 3 x + \frac{18 x + 13}{2 \sqrt{3 x + 1}}}{{(x^{2} - \sqrt{3 x + 1})}^{2}}$ ;

2° $f^{'} (x) = \frac{(1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}) \sqrt{2 x + 3} - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{2 x + 3}}}{2 x + 3} = \frac{(1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}) (2 x + 3) - (x + \sqrt{x^{2} + 2})}{{(2 x + 3)}^{3 / 2}} = \frac{x + 3 + \frac{x^{2} + 3 x - 2}{\sqrt{x^{2} + 2}}}{{(2 x + 3)}^{3 / 2}}$ ;

3° $f^{'} (x) = \frac{3 (x - \sqrt{x^{2} - 2 x + 3}) - (3 x + 1) (1 - \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}})}{{(x - \sqrt{x^{2} - 2 x + 3})}^{2}} = \frac{- 3 + \frac{4 x - 10}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}}}{{(x - \sqrt{x^{2} - 2 x + 3})}^{2}}$ ;

4° $f^{'} (x) = \frac{(2 + \frac{3}{\sqrt{6 x - 1}}) (x^{2} - \sqrt{4 x + 3}) - (2 x + \sqrt{6 x - 1}) (2 x - \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}})}{{(x^{2} - \sqrt{4 x + 3})}^{2}}$ .

Exercice 2-8

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1° $f (x) = \sqrt{2 x + \sqrt{5 x + 2}}$ ;

2° $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 7}}$ ;

3° $f (x) = {(\frac{1 + \sqrt{3 x^{2} - 1}}{2 x - 1})}^{2}$ ;

4° $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - \sqrt{x^{2} + 3}}}$ .

Solution

1° $f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 x + \sqrt{5 x + 2}}} (2 + \frac{5}{2 \sqrt{5 x + 2}})$ ;

2° $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 7}} = - \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{3 / 2}}$ ;

3° $f^{'} (x) = \frac{2 (1 + \sqrt{3 x^{2} - 1})}{2 x - 1} \frac{\frac{3 x}{\sqrt{3 x^{2} - 1}} (2 x - 1) - 2 (1 + \sqrt{3 x^{2} - 1})}{(2 x - 1)^{2}} = \frac{2 (1 + \sqrt{3 x^{2} - 1}) (- 3 x + 2 - 2 \sqrt{3 x^{2} - 1})}{(2 x - 1)^{3} \sqrt{3 x^{2} - 1}} = \frac{2 (- 6 x^{2} - 3 x + 4 - 3 x \sqrt{3 x^{2} - 1})}{(2 x - 1)^{3} \sqrt{3 x^{2} - 1}}$ ;

4° $f^{'} (x) = - \frac{1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}}}{2 {(x - \sqrt{x^{2} + 3})}^{3 / 2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 3}} \sqrt{x^{2} + 3}}$ .

Dérivation

Restitution organisée de connaissances

Autour de la dérivée