Leçons de niveau 13

Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires

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Théorème des valeurs intermédiaires
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Exercices no2
Leçon : Continuité et variations
Chapitre du cours : Théorème des valeurs intermédiaires

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Langage de la continuité
Exo suiv. :Fonctions continues strictement monotones
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Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

est la fonction définie sur par :

.

Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une solution à l'équation .

1. Justifier la continuité de sur .

2. Calculer , , les comparer à 8.

3. Conclure.

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

est définie et continue sur par .

Le tableau de variations de est le suivant :

On admettra que les variations représentées sont strictes, c'est-à-dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur les intervalles représentés.

1. En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation dans .

2. a. Justifier que l'équation admet une solution unique, α, dans l'intervalle .

b. Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).

c. Déterminer une valeur approchée par excès de α au millième près (en justifiant votre réponse).

3. On admet que l'équation admet une solution unique β dans [-3 ; -1]. Déterminer un encadrement de β à 10-2 près (en justifiant la réponse).

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit définie par .

  1. Déterminer les limites de en et en .
  2. Montrer qu'il existe un réel tel que .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit définie par .

Montrer qu'il existe un réel tel que .

Soit définie par .

Montrer qu'il existe un réel tel que . Cette équation équivaut à , en posant .

Par croissances comparées, . Il existe donc tel que . Par ailleurs, .

Puisque et que est continue sur , il existe (d'après le T.V.I.) un réel tel que . }}

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

On s'intéresse à la recherche des solutions de pour définie par

.
  1. Montrer qu'il existe une unique solution dans .
  2. Utiliser la dichotomie pour localiser dans un intervalle de longueur .
  3. Tracer l'allure du graphe de sur .
  4. En déduire le point de départ et le schéma de Newton adapté à dans l'intervalle . On prendra soin de bien expliciter la relation de récurrence.
  5. Calculer les premiers itérés de la méthode de Newton et en déduire en justifiant les 6 premières décimales exactes de .