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Exercice : Langage de la continuitéContinuité et variations/Exercices/Langage de la continuité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
f
{\displaystyle f}
est une fonction définie sur
[
−
2
,
2
]
{\displaystyle [-2,2]}
, avec
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=1}
et
f
{\displaystyle f}
n'est pas continue en 0.
Tracer une courbe qui pourrait représenter
f
{\displaystyle f}
.
f
{\displaystyle f}
est la fonction définie sur
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
par :
f
(
x
)
=
e
x
−
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {e} ^{x}-1}{x}}}
.
Quelle valeur faudrait-il attribuer à
f
(
0
)
{\displaystyle f(0)}
pour prolonger
f
{\displaystyle f}
par continuité en 0 ?
Solution
L'expression de
f
{\displaystyle f}
se rapproche de l’expression de la dérivée de la fonction exponentielle en 0, nous allons démontrer cela.
On note
g
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle g(x)=\operatorname {e} ^{x}}
, nous allons calculer la dérivée de
g
{\displaystyle g}
en 0 en utilisant la définition par la limite de la dérivée.
g
′
(
0
)
=
lim
x
→
0
g
(
x
)
−
g
(
0
)
x
−
0
=
lim
x
→
0
e
x
−
e
0
x
=
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
{\displaystyle g'(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {g(x)-g(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{0}}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {e} ^{x}-1}{x}}}
.
Or
g
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle g'(0)=1}
.
Donc
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {e} ^{x}-1}{x}}=1}
.
On peut donc prolonger la fonction
f
{\displaystyle f}
par continuité en 0 en posant
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=1}
.
Soit
f
{\displaystyle f}
la fonction définie par
f
(
x
)
=
{
x
3
−
2
x
2
+
α
x
+
2
si
x
<
2
x
2
ln
x
si
x
≥
2.
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3}-2x^{2}+\alpha x+2&{\text{si }}x<2\\x^{2}\ln x&{\text{si }}x\geq 2.\end{cases}}}
Déterminer le réel
α
{\displaystyle \alpha }
pour que
f
{\displaystyle f}
soit continue sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
Avec cette valeur de
α
{\displaystyle \alpha }
, la fonction
f
{\displaystyle f}
est-elle dérivable sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
?
Étudier la fonction
f
{\displaystyle f}
définie par
f
(
x
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}-1}}}
(domaine de définition, parité, domaine de dérivation, calcul de
f
′
{\displaystyle f'}
, variations, limites aux bornes, graphe).
La fonction
g
{\displaystyle g}
définie par
g
(
x
)
=
{
f
(
x
)
si
|
x
|
≥
1
e
1
x
2
−
1
si
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{si }}|x|\geq 1\\\operatorname {e} ^{\frac {1}{x^{2}-1}}&{\text{si }}-1<x<1\end{cases}}}
est-elle continue sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
?
Solution
f
{\displaystyle f}
est définie sur
]
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
−
∞
[
{\displaystyle \left]-\infty ,-1\right]\cup \left[1,-\infty \right[}
et dérivable sur
]
−
∞
,
−
1
[
∪
]
1
,
−
∞
[
{\displaystyle \left]-\infty ,-1\right[\cup \left]1,-\infty \right[}
, avec
f
′
(
x
)
=
x
x
2
−
1
{\displaystyle f'(x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
. Elle est paire.
x
−
∞
−
1
1
+
∞
+
∞
+
∞
f
(
x
)
↘
↗
0
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&1&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&&&+\infty \\f(x)&&\searrow &&&&\nearrow &\\&&&0&&0&&\\\hline \end{array}}}
Graphe .
lim
1
−
g
=
e
1
0
−
=
e
−
∞
=
0
=
g
(
1
)
{\displaystyle \lim _{1^{-}}g=\operatorname {e} ^{\frac {1}{0^{-}}}=\operatorname {e} ^{-\infty }=0=g(1)}
et de même,
lim
(
−
1
)
+
g
=
g
(
−
1
)
{\displaystyle \lim _{(-1)^{+}}g=g(-1)}
donc
g
{\displaystyle g}
est continue partout
La fonction
f
{\displaystyle f}
définie par
f
(
x
)
=
{
x
(
x
+
5
)
+
1
si
x
<
0
1
+
3
x
e
−
x
2
si
x
≥
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x(x+5)+1&{\text{si }}x<0\\1+3x\operatorname {e} ^{-x^{2}}&{\text{si }}x\geq 0\end{cases}}}
est-elle continue sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
? Calculer ses limites en
−
∞
{\displaystyle -\infty }
et
+
∞
{\displaystyle +\infty }
.
Graphe de
f
{\displaystyle f}
. Graphe de
g
{\displaystyle g}
.
On considère la fonction
f
{\displaystyle f}
définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
dont le graphe (constitué de segments de droites et d'une portion de parabole) est à gauche.
À quelle condition sur le réel a la fonction
f
{\displaystyle f}
est-elle continue en
−
1
{\displaystyle -1}
?
Si cette condition est vérifiée, la fonction est-elle dérivable en
−
1
{\displaystyle -1}
?
La fonction est-elle continue en
1
{\displaystyle 1}
? dérivable en
1
{\displaystyle 1}
?
Mêmes questions pour la fonction
g
{\displaystyle g}
définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
dont le graphe est à droite.
Solution
a
=
1
{\displaystyle a=1}
.
Oui.
Oui ; non.
a
=
2
{\displaystyle a=2}
. Oui. Oui ; non.
Soit la fonction
f
{\displaystyle f}
définie par
f
(
x
)
=
{
x
e
x
si
x
≤
1
a
x
+
b
si
x
>
1.
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x\operatorname {e} ^{x}&{\text{si }}x\leq 1\\ax+b&{\text{si }}x>1.\end{cases}}}
Trouver
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
réels pour que
f
{\displaystyle f}
soit dérivable en
1
{\displaystyle 1}
.