En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Théorème des valeurs intermédiaires
Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
est la fonction définie sur
par :
.
Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une solution à l'équation
.
1. Justifier la continuité de
sur
.
2. Calculer
,
, les comparer à 8.
3. Conclure.
Solution
1.
est une fonction polynôme, elle est donc continue (voir cours).
2. Calculons les images demandées :
et :
donc .
|
3. Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe (au moins) un réel
![{\displaystyle x\in [-2;3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a04006370b8e1df5e82dbd3b608d87e17e00a4)
vérifiant l'équation :
![{\displaystyle f(x)=8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4c36d33fa92cc94ebaf7288b56011ffd123b90)
.
Remarque
En réalité il y a 3 solutions :
.
est définie et continue sur
par
.
Le tableau de variations de
est le suivant :
On admettra que les variations représentées sont strictes, c'est-à-dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur les intervalles représentés.
1. En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation
dans
.
2. a. Justifier que l'équation
admet une solution unique, α, dans l'intervalle
.
b. Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).
c. Déterminer une valeur approchée par excès de α au millième près (en justifiant votre réponse).
3. On admet que l'équation
admet une solution unique β dans [-3 ; -1]. Déterminer un encadrement de β à 10-2 près (en justifiant la réponse).
Solution
1.
est strictement croissante sur [-4 ; -3], à valeurs dans [-1 ; 3] contenant 2. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation
admet une solution unique dans [-4 ; -3] ;
est strictement décroissante sur [-3 ; -1], donc le même théorème assure que l'équation
admet aussi une solution unique sur [-3 ; -1] ;
est strictement croissante sur [-1 ; 1], à valeurs dans [-1 ; 19] qui contient 2 donc, d’après le même théorème, l'équation
admet une solution unique dans [-1 ; 1].
Conclusion : L'équation
admet exactement 3 solutions dans [-4 : 1].
2. a. Nombre de solutions de l'équation
:
admet en -3 un maximum égal à 3 sur l'intervalle [-4 ; -1] donc 4 n'a pas d'antécédent dans cet intervalle, l'équation
n'admet donc pas de solution sur [-4 ; -1].
Sur [-1 ; 1],
est strictement croissante et prend ses valeurs dans [-1 ; 19]. Or, 4 ∈ [-1 ; 19]. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation
admet une solution unique dans [-1 ; 1].
Conclusion : L'équation
admet une solution unique α dans [-4 ; 1].
b. D'après la question précédente, α ∈ [-1 ; 1]. Or,
donc 3 < 4 < 19, c'est-à-dire
.
Conclusion : α ∈ [0 ; 1] (encadrement de α par deux entiers consécutifs).
c. Valeur approchée par excès de α au millième près :
- encadrement au dixième près :
ƒ(0,1) ≈ 3,961 et ƒ(0,2) ≈ 5,048 donc ƒ(0,1) < 4 < ƒ(0,2), car
est strictement croissante
- donc 0,1 < α < 0,2.
- encadrement au centième près :
ƒ(0,10) ≈ 3,961 et ƒ(0,11) ≈ 4,063 donc ƒ(0,10) < 4 < ƒ(0,11), car
est strictement croissante
- donc 0,10 < α < 0,11.
- encadrement au millième près :
ƒ(0,103) ≈ 3,992 et ƒ(0,104) ≈ 4,002
- or ƒ(0,103) < 4 < ƒ(0,104) et 0,103 < α < 0,104
- donc 0,103 < α < 0,104 encadrement au millième près de α.
Conclusion : α ≈ 0,104 (valeur approchée par excès au millième).
3.
β solution de l'équation
(encadrement à 10-2 près) avec β ∈ [-3 ; 1].
Sur [-3 ; -1],
est décroissante, donc si
alors x < β et si
alors x > β.
- à l'entier près : ƒ(-2) = 1 et ƒ(-1) = -1 donc ƒ(-2) > 0 > ƒ(-1)
- au dixième près : ƒ(-1,7) ≈ 0,127 et ƒ(-1,6) ≈ -0,136
- donc ƒ(-1,7) > 0 > ƒ(-1,6)
- soit -1,7 < β < -1,6 (à 10-1 près)
- au centième près : ƒ(-1,66) ≈ 0,019 et ƒ(-1,65) ≈ -0,07
- donc ƒ(-1,66) > 0 > ƒ(-1,65)
Conclusion : -1,66 < β < -1,65, encadrement à 10-2 près de β.
Soit
définie par
.
- Déterminer les limites de
en
et en
.
- Montrer qu'il existe un réel
tel que
.
Solution
et par croissances comparées,
.
- Il existe donc
tels que
et
. Comme
est continue sur
, il existe alors (d'après le T.V.I.) un réel
tel que
.
Soit
définie par
.
Montrer qu'il existe un réel
tel que
.
Soit
définie par
.
Montrer qu'il existe un réel
tel que
.
Cette équation équivaut à
, en posant
.
Par croissances comparées,
. Il existe donc
tel que
. Par ailleurs,
.
Puisque
et que
est continue sur
, il existe (d'après le T.V.I.) un réel
tel que
.
On s'intéresse à la recherche des solutions de
pour
définie par
.
- Montrer qu'il existe une unique solution
dans
.
- Utiliser la dichotomie pour localiser
dans un intervalle
de longueur
.
- Tracer l'allure du graphe de
sur
.
- En déduire le point de départ et le schéma de Newton adapté à
dans l'intervalle
. On prendra soin de bien expliciter la relation de récurrence.
- Calculer les premiers itérés de la méthode de Newton et en déduire en justifiant les 6 premières décimales exactes de
.
Solution
- L'existence de
est garantie par le théorème des valeurs intermédiaires, car
est continue sur
, strictement négative en
et strictement positive en
. Justifions l'unicité en montrant que
est strictement monotone sur cet intervalle.
sur
car ses deux racines sont
, puisque leur produit
et leur somme est
.
donc
.
donc
.
sur
,
,
. Graphe et tangentes.
est convexe et croissante donc il vaut mieux partir de
.
avec
.
,
,
,
… tiens donc !
ne serait-il pas égal à
? Vérifions :
. Donc
, à
près par défaut. (On peut aussi justifier cette approximation
en vérifiant que
et
.)
Remarquons qu'on pouvait trouver directement
par recherche d'une solution rationnelle
de l'équation : si
avec
entiers premiers entre eux, alors
et
divisent
donc
est égal à
,
ou
, et la seule de ces 6 valeurs qui appartient à
est
. Cette approche permet de plus de trouver les deux autres zéros de
(dans
:
et
, et donc de factoriser :
.
Un mobile parcourt une distance
en une unité de temps. Montrer qu'il existe un intervalle d'une demi-unité de temps pendant laquelle il parcourt exactement une distance égale à
.
Solution
Notons
la distance parcourue pendant l'intervalle de temps
(
fonction continue sur
).
On cherche un sous-intervalle de
de la forme
pendant lequel la distance parcourue
soit égale à
.
On pose donc
.
est définie et continue sur
,
,
, donc (par le théorème des valeurs intermédiaires) il existe
tel que
.