Leçons de niveau 13

Complexes et géométrie/Exercices/Suite de points

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Suite de points
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Exercices no8
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Étude de figures
Exo suiv. :Lieu géométrique
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Complexes et géométrie/Exercices/Suite de points
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Exercice 8-1[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal , l'unité graphique étant 4 cm, on définit l'application qui au point d'affixe associe le point d'affixe

, où .

 Montrez que admet exactement un point invariant , dont vous donnerez l’affixe. Caractérisez géométriquement .

 On définit dans la suite par :

a)  Construisez , , et .
b)  Pour tout entier , on note l'affixe de et l'on pose :
.
Déterminez un nombre complexe tel que, pour tout entier , .
Mettez sous forme trigonométrique et déterminez un entier strictement positif tel que .
c)  Calculez puis en fonction de . Calculez et placez sur le dessin.

Exercice 8-2[modifier | modifier le wikicode]

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal .

 Soit la transformation du plan qui, à tout point d'affixe , associe le point d'affixe

a)  Montrez que est la composée de deux transformations simples (une homothétie et une réflexion ) que l'on précisera.
b)  Quelle est la nature de  ?

 On considère la suite de points d'affixes respectives où :

a)  Faites une figure (unité 4 cm), et placez-y , , et .
b)  Exprimez, en fonction de , et les coordonnées du point .
c)  Calculez . Le point a-t-il une position limite quand tend vers  ?

Exercice 8-3[modifier | modifier le wikicode]

On considère, dans le plan complexe, les points , d'affixe .

 Exprimez en fonction de , pour tout entier .

 Déterminez l'ensemble des points du plan tels que :

.

 Déterminez l’ensemble des points du plan tels que :

.