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{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 8
  | précédent = [[../Étude de figures/]]
  | suivant   = [[../Lieu géométrique/]]
  | niveau    = 13
}}
__TOC__
{{Clr}}

== Exercice 8-1 ==
Dans le plan complexe <math>P</math> muni d'un repère orthonormal <math>(O;\vec{e_1},\,\vec{e_2})</math>, l'unité graphique étant {{Unité|4|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}, on définit l'application <math>f</math> qui au point d'affixe <math>z</math> associe le point d'affixe
:<math>z'=-\mathrm jz+\mathrm i</math>, où <math>\mathrm j=\operatorname e^{\mathrm i\frac{2\pi}3}</math>.

'''1°''' &nbsp;Montrez que <math>f</math> admet exactement un point invariant <math>\Omega</math>, dont vous donnerez l’affixe. Caractérisez géométriquement <math>f</math>.

'''2°''' &nbsp;On définit dans <math>P</math> la suite <math>(M_n)_{n\in\N}</math> par :
:<math>\begin{cases} M_0=0 \\ \forall n\in\N\quad M_{n+1}=f(M_n) \end{cases}</math>
:'''a)''' &nbsp;Construisez <math>\Omega</math>, <math>M_0</math>, <math>M_1</math> et <math>M_2</math>.
:'''b)''' &nbsp;Pour tout entier <math>n</math>, on note <math>z_n</math> l'affixe de <math>M_n</math> et l'on pose :
::<math>Z_n=z_n-\mathrm e^{\mathrm i\frac\pi6}</math>.
::Déterminez un nombre complexe <math>a</math> tel que, pour tout entier <math>n</math>, <math>Z_{n+1}=a Z_n</math>.
::Mettez <math>a</math> sous forme trigonométrique et déterminez un entier <math>p</math> strictement positif tel que <math>a^p=1</math>.
:'''c)''' &nbsp;Calculez <math>Z_n</math> puis <math>z_n</math> en fonction de <math>n</math>. Calculez <math>z_{2017}</math> et placez <math>M_{2017}</math> sur le dessin.
{{Solution|contenu=
'''1°''' &nbsp;<math>f</math> est la rotation d'angle <math>\arg(-\mathrm j)=\frac{2\pi}3-\pi=-\frac\pi3</math> et de centre le point <math>\Omega</math> d'affixe <math>\omega:=\frac{\mathrm i}{1+\mathrm j}=\frac{\operatorname e^{\mathrm i\frac\pi2}}{\operatorname e^{\mathrm i\frac\pi3}}=\operatorname e^{\mathrm i\frac\pi6}</math>.

'''2° &nbsp;a)''' &nbsp;{{...}}
:'''b)''' &nbsp;D'après la question 1, <math>a=\operatorname e^{-\mathrm i\frac\pi3}</math>. Donc <math>a^6=1</math>.
:'''c)''' &nbsp;<math>Z_n=a^nZ_0=-\omega\operatorname e^{-\mathrm i\frac{n\pi}3}=-\operatorname e^{\mathrm i\left(\frac\pi6-\frac{n\pi}3\right)}</math> donc
::<math>z_n=\omega+Z_n=\omega\left(1-a^n\right)=\operatorname e^{\mathrm i\frac\pi6}-\operatorname e^{\mathrm i\left(\frac\pi6-\frac{n\pi}3\right)}</math>
::<math>2017\equiv1\bmod6</math> donc <math>z_{2017}=z_1=\mathrm i</math> et <math>M_{2017}=M_1</math>.
}}

== Exercice 8-2 ==
Le plan complexe <math>P</math> est muni d'un repère orthonormal <math>(O;\vec u,\,\vec v)</math>.

'''1°''' &nbsp;Soit <math>T</math> la transformation du plan qui, à tout point d'affixe <math>z</math>, associe le point d'affixe <math>z'=\frac12\bar z</math>
:'''a)''' &nbsp;Montrez que <math>T</math> est la composée de deux transformations simples (une homothétie <math>h</math> et une réflexion <math>s</math>) que l'on précisera.
:'''b)''' &nbsp;Quelle est la nature de <math>T\circ T</math> ?
'''2°''' &nbsp;On considère la suite de points <math>(M_n)</math> d'affixes respectives <math>(z_n)</math> où :
<math>\begin{cases}z_0=1+\mathrm i\\\forall n\in\N^*\quad z_n=\frac12\overline{z_{n-1}}.\end{cases}</math>
:'''a)''' &nbsp;Faites une figure (unité {{Unité|4|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}), et placez-y <math>M_0</math>, <math>M_1</math>, <math>M_2</math> et <math>M_3</math>.
:'''b)''' &nbsp;Exprimez, en fonction de <math>n</math>, <math>z_n</math> et les coordonnées <math>(x_n,y_n)</math> du point <math>M_n</math>.
:'''c)''' &nbsp;Calculez <math>\lim_{n\to\infty}|z_n|</math>. Le point <math>M_n</math> a-t-il une position limite quand <math>n</math> tend vers <math>+\infty</math> ?
{{Solution|contenu=
'''1° &nbsp;a)''' &nbsp;<math>T=h\circ s=s\circ h</math> où <math>h</math> est l'homothétie de centre <math>O</math> et de rapport <math>\frac12</math> et <math>s</math> est la réflexion par rapport à l'axe des abscisses.
:'''b)''' &nbsp;<math>T\circ T=h\circ s^2\circ h=h\circ\mathrm{id}_P\circ h=h^2</math> est l'homothétie de rapport <math>\frac14</math>.
'''2° &nbsp;a)''' &nbsp;{{...}}
:'''b)''' &nbsp;Si <math>n</math> est pair, <math>T^n=h^n</math> d'après la question 1°b donc <math>z_n=\frac{1+\mathrm i}{2^n}</math> et <math>(x_n,y_n)=\frac1{2^n}(1,1)</math>. Donc si <math>n</math> est impair alors <math>T^n=h^{n-1}\circ T</math>, <math>z_n=\frac{1-\mathrm i}{2^n}</math> et <math>(x_n,y_n)=\frac1{2^n}(1,-1)</math>. 
:'''c)''' &nbsp;<math>|z_n|\to0</math> donc <math>M_n\to O</math>.
}}

== Exercice 8-3 ==
On considère, dans le plan complexe, les <math>n</math> points <math>A_k</math>, d'affixe <math>z_k=\mathrm e^{\mathrm i\frac{2k\pi}n}\quad(1\leqslant k\leqslant n)</math>.

'''1°''' &nbsp;Exprimez <math>z_k</math> en fonction de <math>z_1</math>, pour tout entier <math>k</math>.

'''2°''' &nbsp;Déterminez l'ensemble des points <math>M</math> du plan tels que :
:<math>\left\|\sum_{k=1}^n\overrightarrow{MA_k}\right\|=n</math>.

'''3°''' &nbsp;Déterminez l’ensemble des points <math>M</math> du plan tels que :
:<math>\sum_{k=1}^n{MA_k}^2=2n</math>.
{{Solution|contenu=
'''1°''' &nbsp;<math>z_k={z_1}^k</math>.

'''2°''' &nbsp;<math>\sum_{k=1}^nz_k=z_1\frac{1-{z_1}^n}{1-z_1}=z_1\frac0{1-z_1}=0</math> donc
::<math>\sum_{k=1}^n\left(z_k-z\right)=-nz</math>
:et l'ensemble cherché est le cercle unité.

'''3°''' &nbsp;<math>\left|z_k-z\right|^2=1+\left|z\right|^2-2\operatorname{Re}\left(\overline{z_k}z\right)</math> donc
::<math>\sum_{k=1}^n\left|z_k-z\right|^2=n\left(1+|z|^2\right)-2\operatorname{Re}\left(\bar0z\right)=n\left(1+|z|^2\right)</math>
:et l'ensemble des solutions est, à nouveau, le cercle unité.
}}

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