Complexes et géométrie/Exercices/Lieu géométrique

Exercice 9-1

Dans le plan orienté, soit $OAB$ un triangle rectangle isocèle de sommet $O$ et d'angle au sommet :

$({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})={\frac {\pi }{2}}$.

À partir de chaque point $M$ du segment $[AB]$, on construit les points $P$ et $Q$, projetés orthogonaux respectifs de $M$ sur les droites $(OA)$ et $(OB)$ et les points $R$ et $S$, sommets du carré $PRQS$ de diagonale $[PQ]$ avec :

$({\overrightarrow {PR}},{\overrightarrow {PS}})={\frac {\pi }{2}}$.

Déterminer les lieux de $R$ et $S$ lorsque le point $M$ décrit $[AB]$.

Solution

En notant en minuscules les affixes, on peut supposer $a=1$, $o=0$ et $b=\mathrm {i}$. Alors,

$p\in [0,1]$, $q=\mathrm {i} \left(1-p\right)$, $q-p=\left(1+\mathrm {i} \right)\left(r-p\right)=\left(1-\mathrm {i} \right)\left(s-p\right)$.

$r={\frac {q-p}{1+\mathrm {i} }}+p={\frac {\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}={\frac {1+\mathrm {i} }{2}}$ donc $R$ reste au milieu du segment $[A,B]$.

$s={\frac {q-p}{1-\mathrm {i} }}+p={\frac {\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\left(1-2p\right)={\frac {-1+\mathrm {i} }{2}}\left(1-2p\right)=p+q-{\frac {1+\mathrm {i} }{2}}$ donc $S$ parcourt le segment de milieu $O$ translaté de $[A,B]$.

 

Exercice 9-2

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$. À tout point $M$ d'affixe $Z$ différente de $1$, on associe le point $M'$ d'affixe :

$Z'={\frac {1+Z}{1-Z}}$.

1°  Calculez les coordonnées $X'$ et $Y'$ de $M'$ en fonction des coordonnées $X$ et $Y$ de $M$.

2°  Soit $D$ la droite d'équation $x=0$.

Soit $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.

Montrez que, lorsque $M$ décrit la droite $D$, $M'$ se déplace sur le cercle $\Gamma$.

3°  a)  Montrer que, lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$ privé du point $A$ d'affixe $1$, $M'$ se déplace sur une droite.

Précisez cette droite.

b)  Montrez que si le point $M$ est un point de $\Gamma$ différent de $A$, alors les points $A$, $M$ et $M'$ sont alignés. Déduisez-en, dans ce cas, une construction de $M'$ connaissant $M$.

Solution

1°  $Z'={\frac {1+X+\mathrm {i} Y}{1-X-\mathrm {i} Y}}={\frac {\left(1+X+\mathrm {i} Y\right)\left(1-X+\mathrm {i} Y\right)}{\left(1-X\right)^{2}+Y^{2}}}={\frac {\left(1+\mathrm {i} Y\right)^{2}-X^{2}}{\left(1-X\right)^{2}+Y^{2}}}$ donc

$X'={\frac {1-X^{2}-Y^{2}}{\left(1-X\right)^{2}+Y^{2}}}$ et $Y'={\frac {2Y}{\left(1-X\right)^{2}+Y^{2}}}$.

2°  $\left|{\frac {1+0+\mathrm {i} Y}{1-0-\mathrm {i} Y}}\right|=1$.

3°  a)  D'après la question 1, $X^{2}+Y^{2}=1\Rightarrow X'=0$. Donc quand $M\in \Gamma$, $M'\in D$.

b)  D'après la question 1, $X^{2}+Y^{2}=1\Rightarrow Y=\left(1-X\right)Y'$. Donc quand $M\in \Gamma$, $M=XA+\left(1-X\right)M'$. Dans ce cas, $M'\in D\cap (AM)$.

 

Exercice 9-3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$.

Soit $A$ un point, d'affixe $a\neq 0$, et soit $ABC$ le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$, de rayon $OA$ et tel que $({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}})={\frac {\pi }{3}}$.

1°  Déterminez, en fonction de $a$, les affixes $b$ et $c$ des points $B$ et $C$.

2°  Soit $M$ le point d'affixe $z=a^{3}$.

Déterminez les points $A$ tels que $M$ est le milieu de $[BC]$.

3°  On suppose, dans cette question, que $A$ décrit le cercle de centre le point $I$ d'affixe $\mathrm {i}$ et de rayon $2$.

Déterminez l’ensemble des points $N$ tels que $ABNC$ est un losange.

Solution

1°  $b=\mathrm {j} a$ et $c=\mathrm {j} ^{2}a$, avec $\mathrm {j} =\operatorname {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}$.

2°  $1+\mathrm {j} +\mathrm {j} ^{2}=0$ donc $a^{3}={\frac {\mathrm {j} a+\mathrm {j} ^{2}a}{2}}\Leftrightarrow 2a^{3}=-a\Leftrightarrow a=\pm {\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$.

3°  $n=a+(b-a)+(c-a)=b+c-a=-2a$ donc quand $A$ décrit le cercle de centre $I$ et de rayon $2$, $N$ décrit celui de centre le point d'affixe $-2\mathrm {i}$ et de rayon $4$.

 

Exercice 9-4

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

1°  Quels sont le module et l'argument de $z_{0}:={\frac {-1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$ ?

2°  Représentez dans le plan, les points $A$ d'affixe $1$, $M_{0}$ d'affixe $z_{0}+1$ et $M'_{0}$ d'affixe $z_{0}^{2}+2$.

Montrez que ces trois points sont alignés.

3°  Déterminez l'ensemble des points $P$ d'affixe $z$ tels que les points $A$ d'affixe $1$, $M$ d'affixe $z+1$ et $M'$ d'affixe $z^{2}+2$ sont alignés.

Solution

1°  $|z_{0}|=1$ et $\arg z_{0}={\frac {3\pi }{4}}$.

2°  $(z_{0}^{2}+2)-1=1-\mathrm {i} ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left((z_{0}+1)-1\right)$.

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3°  Si $P=O$ alors $M=A$. Sinon, l'alignement se traduit par ${\frac {(z^{2}+2)-1}{(z+1)-1}}\in \mathbb {R}$, c'est-à-dire $z+{\frac {1}{z}}\in \mathbb {R}$. En posant $z=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$, la condition se réécrit :

$r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }+{\frac {1}{r}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }=r\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }+{\frac {1}{r}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$, ou encore : $\left(r-{\frac {1}{r}}\right)\sin \theta =0$.

L'ensemble des solutions est donc l'union du cercle unité et de l'axe réel.

 

Exercice 9-5

Soient $f,g:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$, définies par :

$f(z)=\left(1+\mathrm {i} \right){\bar {z}}-2$ et $g(z)=\mathrm {i} {\bar {z}}+2+\mathrm {i}$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'origine $O$.

1°  Pour tout point $M(z)$ du plan, on note $M_{1}$ le point d'affixe $f(z)$ et $M_{2}$ celui d'affixe $g(z)$.

Déterminez une équation cartésienne de l’ensemble $E$ des points $M$ tels que $O$, $M_{1}$ et $M_{2}$ sont alignés

2°  Soit $A$ le point d'affixe ${\frac {3}{2}}\left(1-\mathrm {i} \right)$. Déduisez de la question précédente que $E$ est l’ensemble des points $M$ tels que $2AM^{2}=13$. Représentez alors $E$.

3°  a)  Calculez l'affixe du barycentre $G$ des points $M$, $M_{1}$ et $M_{2}$ affectés respectivement des coefficients $1$, $1$ et $-1$.

b)  Montrer que $G$ décrit une droite fixe lorsque $M$ décrit le plan.

Solution

1°  $f(z){\overline {g(z)}}=\left(\left(1+\mathrm {i} \right){\bar {z}}-2\right)\left(-\mathrm {i} z+2-\mathrm {i} \right)\in \mathbb {R} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-3x+3y-2=0$.

2°  $AM^{2}-{\frac {13}{2}}=\left(x-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {13}{2}}=x^{2}-3x+{\frac {9}{4}}+y^{2}+3y+{\frac {9}{4}}-{\frac {13}{2}}=x^{2}+y^{2}-3x+3y+{\frac {9-13}{2}}$.

3°  a)  ${\frac {z+f(z)-g(z)}{1+1-1}}=z+(1+\mathrm {i} ){\bar {z}}-2-\mathrm {i} {\bar {z}}-2-\mathrm {i} =z+{\bar {z}}-4-\mathrm {i}$.

b)  $G$ décrit la droite d'équation $y=-1$.

 

Exercice 9-6

Le plan $P$ est muni d'un repère orthonormal d'origine $O$. Soit $f$ l’application de $P$ dans $P$ qui au point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'=2z+\mathrm {i} z{\bar {z}}$.

1°  Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'ordonnée nulle.

2°  Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'abscisse nulle.

3°  Déterminez et construisez l'image du cercle de centre $O$ et de rayon $1$.

Solution

1°  C'est l'ensemble des points d'affixe $2s+\mathrm {i} s^{2}$ avec $s\in \mathbb {R}$, c'est-à-dire la parabole d'équation $y=\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}$.

2°  C'est l'ensemble des points d'affixe $2\mathrm {i} t+\mathrm {i} t^{2}=\mathrm {i} \left((t+1)^{2}-1\right)$ avec $t\in \mathbb {R}$, c'est-à-dire la demi-droite d'équation $x=0,y\geq -1$.

3°  C'est le cercle de rayon $2$ centré au point d'affixe $\mathrm {i}$.

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Exercice 9-7

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$, on note $A$ le point d'affixe $\mathrm {i}$. À tout point $M$ du plan, distinct de $A$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'={\frac {\mathrm {i} z}{z-\mathrm {i} }}$.

1°  Déterminez les points $M$ tels que $M'=M$.

2°  Déterminez l'ensemble $\Gamma$ des points $M$, distincts de $A$, tels que $M'$ soit sur la droite $(O;{\vec {u}})$.

3°  Soit $z$ un nombre complexe différent de $\mathrm {i}$ :

a)  montrez que $z'-\mathrm {i} ={\frac {-1}{z-\mathrm {i} }}$ ;

b)  déterminez le lieu géométrique du point $M'$, lorsque $M$ décrit le cercle de centre $A$ et de rayon $1$.

Solution

1°  $z={\frac {\mathrm {i} z}{z-\mathrm {i} }}\Leftrightarrow z=0$ ou $2\mathrm {i}$.

2°  ${\frac {-y+\mathrm {i} x}{x+\mathrm {i} \left(y-1\right)}}\in \mathbb {R} \Leftrightarrow x^{2}=-y\left(y-1\right)\Leftrightarrow x^{2}+\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}$ donc $\Gamma$ est le cercle de rayon ${\frac {1}{2}}$ centré au point de coordonnées $\left(0,{\frac {1}{2}}\right)$.

3°  a)  ${\frac {\mathrm {i} z}{z-\mathrm {i} }}-\mathrm {i} ={\frac {\mathrm {i} z-\mathrm {i} z+\mathrm {i} ^{2}}{z-\mathrm {i} }}$.

b)  D'après a), l'image de ce cercle est lui-même.

 

Exercice 9-8

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct. $P^{*}$ désigne le plan privé de l'origine $O$ ; $a$ est un réel strictement positif.

Soit $T:P^{*}\to P^{*}$ l'application qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'={\frac {\mathrm {i} a^{2}}{z}}$.

1°  a)  Prouvez que $T$ est involutive (c'est-à-dire $T\circ T=\mathrm {Id} _{P^{*}}$).

b)  Cherchez ses points invariants.

2°  Prouvez que $M'=T(M)$ équivaut à :

$OM\times OM'=a^{2}$ et $({\vec {u}},{\overrightarrow {OM}})+({\vec {u}},{\overrightarrow {OM'}})\equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {2\pi }}$.

3°  Quelle est l'image par $T$ :

a)  d'un cercle de centre $O$ ?

b)  d'une droite passant par $O$, privée de $O$ ?

Solution

1°  a)  Si $z'={\frac {\mathrm {i} a^{2}}{z}}$ alors ${\frac {\mathrm {i} a^{2}}{z'}}=z$.

b)  $z^{2}=\mathrm {i} a^{2}\Leftrightarrow z=\pm a\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}$.

2°  $zz'=\mathrm {i} a^{2}\Leftrightarrow |z||z'|=a^{2}{\text{ et }}\arg z+\arg z'\equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {2\pi }}$.

3°  D'après la question précédente :

a)  l'image du cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est le cercle de centre $O$ et de rayon ${\frac {a^{2}}{r}}$ ;

b)  l'image d'une droite passant par $O$ (privée de $O$) est sa symétrique par rapport à la droite d'équation $y=x$.