Leçons de niveau 13

Complexes et géométrie/Exercices/Lieu géométrique

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Lieu géométrique
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Exercices no9
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Suite de points
Exo suiv. :Fonction complexe
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Complexes et géométrie/Exercices/Lieu géométrique
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Exercice 9-1[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan orienté, soit un triangle rectangle isocèle de sommet et d'angle au sommet :

.

À partir de chaque point du segment , on construit les points et , projetés orthogonaux respectifs de sur les droites et et les points et , sommets du carré de diagonale avec :

.

Déterminer les lieux de et lorsque le point décrit .

Exercice 9-2[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct . À tout point d'affixe différente de , on associe le point d'affixe :

.

 Calculez les coordonnées et de en fonction des coordonnées et de .

 Soit la droite d'équation .

Soit le cercle de centre et de rayon .
Montrez que, lorsque décrit la droite , se déplace sur le cercle .

 a)  Montrer que, lorsque décrit le cercle privé du point d'affixe , se déplace sur une droite.

Précisez cette droite.
b)  Montrez que si le point est un point de différent de , alors les points , et sont alignés. Déduisez-en, dans ce cas, une construction de connaissant .

Exercice 9-3[modifier | modifier le wikicode]

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'origine .

Soit un point, d'affixe , et soit le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre , de rayon et tel que .

 Déterminez, en fonction de , les affixes et des points et .

 Soit le point d'affixe .

Déterminez les points tels que est le milieu de .

 On suppose, dans cette question, que décrit le cercle de centre le point d'affixe et de rayon .

Déterminez l’ensemble des points tels que est un losange.

Exercice 9-4[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

 Quels sont le module et l'argument de  ?

 Représentez dans le plan, les points d'affixe , d'affixe et d'affixe .

Montrez que ces trois points sont alignés.

 Déterminez l'ensemble des points d'affixe tels que les points d'affixe , d'affixe et d'affixe sont alignés.

Exercice 9-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient , définies par :

et .

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'origine .

 Pour tout point du plan, on note le point d'affixe et celui d'affixe .

Déterminez une équation cartésienne de l’ensemble des points tels que , et sont alignés

 Soit le point d'affixe . Déduisez de la question précédente que est l’ensemble des points tels que . Représentez alors .

 a)  Calculez l'affixe du barycentre des points , et affectés respectivement des coefficients , et .

b)  Montrer que décrit une droite fixe lorsque décrit le plan.

Exercice 9-6[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est muni d'un repère orthonormal d'origine . Soit l’application de dans qui au point d'affixe associe le point d'affixe .

 Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'ordonnée nulle.

 Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'abscisse nulle.

 Déterminez et construisez l'image du cercle de centre et de rayon .

Exercice 9-7[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on note le point d'affixe . À tout point du plan, distinct de , on associe le point d'affixe .

 Déterminez les points tels que .

 Déterminez l'ensemble des points , distincts de , tels que soit sur la droite .

 Soit un nombre complexe différent de  :

a)  montrez que  ;
b)  déterminez le lieu géométrique du point , lorsque décrit le cercle de centre et de rayon .

Exercice 9-8[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct. désigne le plan privé de l'origine  ; est un réel strictement positif.

Soit l'application qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe .

 a)  Prouvez que est involutive (c'est-à-dire ).

b)  Cherchez ses points invariants.

 Prouvez que équivaut à :

et .

 Quelle est l'image par  :

a)  d'un cercle de centre  ?
b)  d'une droite passant par , privée de  ?