Leçons de niveau 13

Complexes et géométrie/Exercices/Fonction complexe

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Fonction complexe
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Exercices no10
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

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Complexes et géométrie/Exercices/Fonction complexe
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Exercice 10-1[modifier | modifier le wikicode]

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal . On prendra 2 cm pour unité graphique.

 a)  Résolvez dans l'équation .

b)  Écrivez les solutions et de cette équation sous forme algébrique et sous forme trigonométrique ( est la solution dont la partie imaginaire est positive).
Placez dans les points d'affixe et d'affixe .

 Soit l'application qui à tout point d'affixe associe le point dont l'affixe est définie par : .

a)  Déterminez les points et . Placez-les sur la figure.
b)  Montrez que pour tout point , les points , et sont alignés et .

3°  a)  Montrez que pour tout complexe ,

et déduisez-en que si et seulement si .
b)  Soit le cercle passant par et centré au point d'affixe . Soit un point de , distinct de .
Montrer que son image est située sur une droite dont vous donnerez une équation. Placez et sur la figure.

Exercice 10-2[modifier | modifier le wikicode]

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct . est le point d'affixe et le plan privé de .

À tout point d'affixe , on associe le point d'affixe . On note la transformation : .

 Montrez que pour tout point de , le point est distinct de .

 Montrez que est une bijection de sur lui-même et déterminez sa réciproque .

3°  a)  Montrez qu'un point de est fixe par si et seulement si son affixe vérifie .

b)  Trouvez le réel tel que , puis montrer que admet deux points fixes.

 On note la droite passant par et dirigée par , et la droite privée de .

Montrez que si est un point de , alors son image par est un point de (on dit que est « globalement invariante par  »).

5°  a)  Montrez que (pour ) .

b)  En déduire que le cercle de centre et de rayon est globalement invariant par .