Complexes et géométrie/Exercices/Fonction complexe

Exercice 10-1

Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$. On prendra 2 cm pour unité graphique.

1°  a)  Résolvez dans $\mathbb {C}$ l'équation $z^{2}-4z+8=0$.

b)  Écrivez les solutions $z_{1}$ et $z_{2}$ de cette équation sous forme algébrique et sous forme trigonométrique ($z_{1}$ est la solution dont la partie imaginaire est positive).

Placez dans $P$ les points $A$ d'affixe $z_{1}$ et $B$ d'affixe $z_{2}$.

2°  Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z\neq 0$ associe le point $M'$ dont l'affixe $z'$ est définie par : $z'{\bar {z}}=1$.

a)  Déterminez les points $A'=f(A)$ et $B'=f(B)$. Placez-les sur la figure.

b)  Montrez que pour tout point $M\neq O$, les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés et $OM\times OM'=1$.

3°  a)  Montrez que pour tout complexe $z\neq 0$,

${\frac {1-2{\overline {z'}}}{\overline {z'}}}=z-2$

et déduisez-en que $|z-2|=2$ si et seulement si $\left|{\frac {1}{2}}-z'\right|=|z'|$.

b)  Soit ${\mathfrak {C}}$ le cercle passant par $O$ et centré au point d'affixe $2$. Soit $M$ un point de ${\mathfrak {C}}$, distinct de $O$.

Montrer que son image $M'$ est située sur une droite $D$ dont vous donnerez une équation. Placez ${\mathfrak {C}}$ et $D$ sur la figure.

Solution

1°  a)  $z^{2}-4z+8=\left(z-2\right)^{2}+4$ donc les deux solutions sont $z_{1}=2+2\mathrm {i}$ et $z_{2}=2-2\mathrm {i} ={\overline {z_{1}}}$.

b)  $z_{1}=2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}$ et $z_{2}=2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}}$.

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2°  a)  Les points $A'$ et $B'$ ont pour affixes respectives : ${\frac {1}{z_{2}}}={\frac {1-\mathrm {i} }{4}}$ et ${\frac {1}{z_{1}}}={\frac {1+\mathrm {i} }{4}}$.

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b)  ${\frac {z'}{z}}={\frac {1}{|z|^{2}}}\in \mathbb {R}$ et $|z||z'|=1$.

3°  a)  ${\frac {1-2{\overline {z'}}}{\overline {z'}}}={\frac {1-2{\overline {z'}}}{\overline {z'}}}={\frac {1-{\frac {2}{z}}}{\frac {1}{z}}}=z-2$ donc

${\frac {|z-2|}{2}}=\left|{\frac {1-2z'}{2z'}}\right|={\frac {\left|{\frac {1}{2}}-z'\right|}{|z'|}}$.

b)  D'après la question précédente, $M'$ appartient à la médiatrice de $O$ et du point d'affixe ${\frac {1}{2}}$, c'est-à-dire la droite $D$ d'équation $x={\frac {1}{4}}$.

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Exercice 10-2

Le plan complexe $P$ est rapporté au repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$. $A$ est le point d'affixe $2\mathrm {i}$ et $P^{*}$ le plan $P$ privé de $A$.

À tout point $M$ d'affixe $z\neq 2\mathrm {i}$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'={\frac {2\mathrm {i} z-5}{z-2\mathrm {i} }}$. On note $T$ la transformation : $M\mapsto M'$.

1°  Montrez que pour tout point $M$ de $P^{*}$, le point $M'$ est distinct de $A$.

2°  Montrez que $T$ est une bijection de $P^{*}$ sur lui-même et déterminez sa réciproque $T^{-1}$.

3°  a)  Montrez qu'un point $M$ de $P^{*}$ est fixe par $T$ si et seulement si son affixe vérifie $z^{2}-4\mathrm {i} z+5=0$.

b)  Trouvez le réel $\alpha$ tel que $z^{2}-4\mathrm {i} z+5=(z-2\mathrm {i} )^{2}+\alpha$, puis montrer que $T$ admet deux points fixes.

4°  On note $D$ la droite passant par $O$ et dirigée par ${\vec {v}}$, et $D^{*}$ la droite $D$ privée de $A$.

Montrez que si $M$ est un point de $D^{*}$, alors son image par $T$ est un point de $D^{*}$ (on dit que $D^{*}$ est « globalement invariante par $T$ »).

5°  a)  Montrez que (pour $z\neq 2\mathrm {i}$) $|z'-2\mathrm {i} |\times |z-2\mathrm {i} |=9$.

b)  En déduire que le cercle de centre $A$ et de rayon $3$ est globalement invariant par $T$.

Solution

1°  $(z'-2\mathrm {i} )(z-2\mathrm {i} )=-9$ donc $z'-2\mathrm {i} \neq 0$.

2°  D'après le calcul précédent, $T$ est une involution de $P^{*}$.

3°   a)  $(z-2\mathrm {i} )^{2}=-9\Leftrightarrow z^{2}-4\mathrm {i} z+5=0$.

b)  $\alpha =9$, et $(z-2\mathrm {i} )^{2}=-9\Leftrightarrow z=5\mathrm {i}$ ou $-\mathrm {i}$.

4°  Cf. calcul de la question 1.

5°  a)  Cf. calcul de la question 1.

b)  $|z-2\mathrm {i} |=3\Rightarrow |z'-2\mathrm {i} |=3$.