Complexes et géométrie/Exercices/Pour les cracks
Exercice 11-1
[modifier | modifier le wikicode]Résolvez dans l'équation :
après avoir montré que est une solution.
- .
- Les solutions de sont , et avec .
Exercice 11-2
[modifier | modifier le wikicode]1° Résolvez l'équation :
- .
2° Situer dans le plan complexe, les images des solutions. Quelle est la particularité du polygone dont les sommets sont les points-images des solutions de l'équation ?
Exercice 11-3
[modifier | modifier le wikicode]Le plan est muni d'un repère orthonormal direct .
1° a) Soit le point d'affixe et le point d'affixe .
- Pour tout réel , on considère les deux points d'affixe et d'affixe .
- Montrez qu'il existe une unique similitude directe telle que et .
- b) Déterminez les éléments caractéristiques de .
- c) Soit l'ensemble des similitudes , .
- Montrez que la composée de deux similitudes de est aussi une similitude de .
2° On pose et pour tout non nul, .
- a-t-il une position limite quand tend vers ?
1° a) L'unique solution du système et est .
- b) est la rotation d'angle et de centre le point d'affixe .
- c) .
2° avec donc .
Exercice 11-4
[modifier | modifier le wikicode]Le plan orienté est muni d'un repère orthonormal direct d'origine .
On note et les points ayant respectivement pour affixe et .
À tout point d'affixe , on associe le point d'affixe .
1° Lorsque est distinct de , donnez une mesure de l'angle .
2° Déterminez et représentez sur une figure l'ensemble des points du plan, distincts de et , tels que le triangle soit rectangle en .
3° Déterminez le lieu du milieu du segment lorsque parcourt .
1° .
2° donc est la droite privée des deux points et .
3° donc est l'image de par une similitude directe . Les points et ont pour affixes respectives et . Puisque est une application affine, est la droite (d'équation ) privée de ces deux points.