En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Suite de points
Complexes et géométrie/Exercices/Suite de points », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans le plan complexe
muni d'un repère orthonormal
, l'unité graphique étant 4 cm, on définit l'application
qui au point d'affixe
associe le point d'affixe
, où
.
1° Montrez que
admet exactement un point invariant
, dont vous donnerez l’affixe. Caractérisez géométriquement
.
2° On définit dans
la suite
par :
![{\displaystyle {\begin{cases}M_{0}=0\\\forall n\in \mathbb {N} \quad M_{n+1}=f(M_{n})\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4accf2afec19476f16aabe8d89e507d929c2fdc1)
- a) Construisez
,
,
et
.
- b) Pour tout entier
, on note
l'affixe de
et l'on pose :
.
- Déterminez un nombre complexe
tel que, pour tout entier
,
.
- Mettez
sous forme trigonométrique et déterminez un entier
strictement positif tel que
.
- c) Calculez
puis
en fonction de
. Calculez
et placez
sur le dessin.
Le plan complexe
est muni d'un repère orthonormal
.
1° Soit
la transformation du plan qui, à tout point d'affixe
, associe le point d'affixe
- a) Montrez que
est la composée de deux transformations simples (une homothétie
et une réflexion
) que l'on précisera.
- b) Quelle est la nature de
?
2° On considère la suite de points
d'affixes respectives
où :
- a) Faites une figure (unité 4 cm), et placez-y
,
,
et
.
- b) Exprimez, en fonction de
,
et les coordonnées
du point
.
- c) Calculez
. Le point
a-t-il une position limite quand
tend vers
?
Solution
1° a)
où
est l'homothétie de centre
et de rapport
et
est la réflexion par rapport à l'axe des abscisses.
- b)
est l'homothétie de rapport
.
2° a)
- b) Si
est pair,
d'après la question 1°b donc
et
. Donc si
est impair alors
,
et
.
- c)
donc
.
On considère, dans le plan complexe, les
points
, d'affixe
.
1° Exprimez
en fonction de
, pour tout entier
.
2° Déterminez l'ensemble des points
du plan tels que :
.
3° Déterminez l’ensemble des points
du plan tels que :
.
Solution
1°
.
2°
donc
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(z_{k}-z\right)=-nz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1cee9eaaa1e7116b4d05477f25519547d2ac5a)
- et l'ensemble cherché est le cercle unité.
3°
donc
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}-z\right|^{2}=n\left(1+|z|^{2}\right)-2\operatorname {Re} \left({\bar {0}}z\right)=n\left(1+|z|^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d917ebce28b7b6d45c7dd3b44a6c0a575b9b2cc6)
- et l'ensemble des solutions est, à nouveau, le cercle unité.