Changement de variable en calcul intégral/Calcul de primitives

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Par définition, on appelle primitive d'une fonction, une fonction qui, lorsqu'on la dérive, va redonner la fonction considérée. Cela étant dit, l’objet de ce chapitre n’est pas d'étudier la notion de primitive en général, mais de voir comment bénéficier du changement de variable pour calculer une primitive d'une fonction donnée.

Lien intégrale-primitives

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle réel $I$ et soit $a$ un élément de cet intervalle. L'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$ est la fonction $I\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$

Fin du théorème

Formule de changement de variable dans le calcul d'une primitive

Étudions ce que devient la formule du changement de variable vue au premier chapitre :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(u)\,\mathrm {d} u$

Première méthode

En posant $\alpha =a$ et $\beta =x$ dans la formule précédente, on obtient :

$\int _{a}^{x}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (a)}^{\phi (x)}f(u)\,\mathrm {d} u$

Supposons alors que nous ayons à calculer une primitive d'une fonction dépendant d'une variable $t$. Nous allons pouvoir bénéficier du changement de variable si cette fonction peut se mettre sous la forme $f(\phi (t))\phi '(t)$ et si nous connaissons une primitive $F$ de $f$ car une primitive sera alors :

$\int _{a}^{x}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (a)}^{\phi (x)}f(u)\,\mathrm {d} u=F(\phi (x))-F(\phi (a))$

Comme les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, nous retiendrons le terme $F(\phi (x))$ comme étant une des primitives de $f(\phi (x))\phi '(x)$.

Remarque

Il s'agit juste du théorème de dérivation des fonctions composées, $(F\circ \phi )'=(F'\circ \phi )\times \phi '$, qui a été l'un des deux ingrédients, au premier chapitre, pour démontrer le théorème du changement de variable en calcul intégral. Ce dernier n'est donc pas utile ici, pas plus que le théorème fondamental de l'analyse (le second ingrédient) ni l'hypothèse de continuité de $f=F'$ et de $\phi '(t)$.

Abus d'écriture

Pour faciliter la rédaction, on utilise généralement un abus d'écriture (usuel pour les physiciens). Soit à calculer la primitive :

$\int _{a}^{x}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t$

Si l’on observe les bornes d'intégration, on voit que $a$ est la valeur où la primitive s'annule. Mais cette valeur n’est pas nécessaire si l’on cherche une primitive quelconque. On voit aussi que $x$ est la variable que l’on peut sous-entendre. On peut donc s'affranchir des bornes d'intégration. On note la primitive simplement :

$\int f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t$

Comme $x$ ne figure plus dans l'expression, on peut remplacer $t$ par $x$ :

$\int f\left[\phi (x)\right].\phi '(x)\,\mathrm {d} x$

On posera ensuite, par exemple, $y=\phi (x)$ et on en déduit $dy=\phi '(x)dx$ (différentielle au sens des physiciens).

Avec toutes ces conventions, si $F$ est une primitive de $f$, son expression est la suivante:

$\int f\left[\phi (x)\right].\phi '(x)\,\mathrm {d} x=\int f(y)\,\mathrm {d} y=F(y)=F\left(\phi (x)\right)$

Deuxième méthode

Reprenons la formule :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(u)\,\mathrm {d} u$

Pour simplifier, nous supposerons cette fois que $\phi$ est bijective et nous appellerons $\phi ^{-1}$ sa bijection réciproque.

En posant $\alpha =\phi ^{-1}(a)$ et $\beta =\phi ^{-1}(x)$ dans la formule précédente, on obtient :

$\int _{\phi ^{-1}(a)}^{\phi ^{-1}(x)}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\phi ^{-1}(a))}^{\phi (\phi ^{-1}(x))}f(u)\,\mathrm {d} u$

Qui se simplifie sous la forme :

$\int _{\phi ^{-1}(a)}^{\phi ^{-1}(x)}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(u)\,\mathrm {d} u$

Nous appliquerons cette deuxième méthode si nous connaissons une primitive $F$ de la fonction :

$t\longmapsto f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)$

Alors, une primitive de $f$ sera :

$\int _{a}^{x}f(u)\,\mathrm {d} u=\int _{\phi ^{-1}(a)}^{\phi ^{-1}(x)}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=F(\phi ^{-1}(x))-F(\phi ^{-1}(a))$

Une primitive plus simple de $f$ est donc : $F(\phi ^{-1}(x))$.

Abus d'écriture

En réitérant l'abus d'écriture du paragraphe précédent, nous écrirons plus simplement :

$\int f(x)\,\mathrm {d} x=\int f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=F(t)=F(\phi ^{-1}(x))$