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Exercice : Changement de variable facile
Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable facile », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les changements de variable présentés dans cette page demandent une légère réflexion.
Calculer :
.
Solution
D'après les règles de Bioche, nous devrions poser y = sin(x). Pour mettre ce changement de variable en évidence nous remarquons que :
.
Posons :
et donc :
Nous pouvons conclure que :
.
|
Démontrer que l'aire d'un disque de rayon
est égale à
.
Calculer
.
Solution
Posons :
.
On a donc :
Nous pouvons conclure que :
.
|
Calculer une primitive (sur
) de la fonction
.
Calculer
.
Solution
.
.
Calculer :
.
Solution
Reprenons le changement de variable précédent.
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}\to x\to {\sqrt {5}}\Rightarrow {\sqrt {5}}-2\to y\to {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37bd218f7e0799bf01a32edf3ed60483ae97c9f9)
et donc :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{{\sqrt {5}}-2}^{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}{\frac {x+{\sqrt {\frac {x-1}{x+1}}}}{x^{2}-1}}\,\mathrm {d} x&=\int _{{\sqrt {5}}-2}^{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}{\frac {{\frac {1+y^{2}}{1-y^{2}}}+y}{\left({\frac {1+y^{2}}{1-y^{2}}}\right)^{2}-1}}{\frac {4y}{(1-y^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} y=\int _{{\sqrt {5}}-2}^{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}{\frac {1+y+y^{2}-y^{3}}{y(1-y^{2})}}\,\mathrm {d} y\\&=\int _{{\sqrt {5}}-2}^{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\left(1+{\frac {1}{y}}+{\frac {2y}{1-y^{2}}}\right)\,\mathrm {d} y=\left[y+\ln |y|-\ln |1-y^{2}|\right]_{{\sqrt {5}}-2}^{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\\&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}+\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)-\ln \left(1-\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{2}\right)-({\sqrt {5}}-2)-\ln({\sqrt {5}}-2)+\ln \left(1-({\sqrt {5}}-2)^{2}\right)\\&={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}+\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)-\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)-\ln({\sqrt {5}}-2)+\ln \left(4({\sqrt {5}}-2)\right)\\&={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}+2\ln 2.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a16dae90726656e3fbc577fbdc090ca1b4a9192)
Nous pouvons conclure que :
.
|
Calculer :
.
Solution
Posons :
.
On a donc :
Posons ensuite :
.
Nous pouvons conclure que :
.
|
Calculer la primitive suivante :
.
Calculer
.
Solution
![{\displaystyle \omega (-t)={\frac {\sin(-t)}{1+\cos ^{2}(-t)}}\;\mathrm {d} (-t)={\frac {-\sin t}{1+\cos ^{2}t}}\;(-\mathrm {d} t)={\frac {\sin t}{1+\cos ^{2}t}}\;\mathrm {d} t=\omega (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63df44434070028c6bb44d1d073df49cfa252a3d)
Ceci car
et
est impaire et
paire.
Alors d'après la règle de Bioche, le meilleur changement de variable est
.
.
Calculer
.
Solution
En posant
, on trouve :
.
Calculer
.
Solution
En posant
, on trouve :
.
Calculer
.
Calculer
.
Solution
![{\displaystyle \omega (\pi +t)={\frac {1}{(\cos ^{2}(\pi +t))(1+\tan(\pi +t))}}\,\mathrm {d} (\pi +t)={\frac {1}{(\cos ^{2}(t))(1+\tan(t))}}\,\mathrm {d} t=\omega (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e0b4d18a0d365ead758aa4fb473ccf91a3cc0d)
Ceci car
et
et
.
Alors d'après la règle de Bioche, le changement de variable le plus approprié est
.
Une fois le changement de variable effectué, ces deux intégrales peuvent être calculées plus facilement car elles comportent des fonctions que l'on sait intégrer.
Calculer une primitive de
.
Calculer
, pour
.
Solution
Le changement de variable
donne :
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1+\beta \cos x}}=\int {\frac {\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}{1+\beta {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}=\int {\frac {2\,\mathrm {d} t}{(1+\beta )+(1-\beta )t^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d58ce45684b3b720cfcef90487b7e51b2ef1a7)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\text{si }}\beta =1:&t+C_{k}=\tan(x/2)+C_{k},\quad x\in \left]-\pi +2k\pi ,\pi +2k\pi \right[,\quad k\in \mathbb {Z} \\{\text{si }}\beta =-1:&-{\frac {1}{t}}+C_{k}=-\cot(x/2)+C_{k},\quad x\in \left]2k\pi ,2(k+1)\pi \right[,\quad k\in \mathbb {Z} \\{\text{si }}|\beta |<1:&{\frac {2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,t\right)+C_{k}={\frac {2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}{\frac {\sin x}{1+\cos x}}\right)+C_{k},\quad x\in \left]-\pi +2k\pi ,\pi +2k\pi \right[,\quad k\in \mathbb {Z} .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd1f33e2d0a5271603da47f5e0a145c534d539c)
Dans le troisième cas, pour obtenir une primitive sur
tout entier, il suffit de choisir les
de façon cohérente :
.
Calculer
, pour
.
Solution
Le changement de variable
donne :
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1+\beta \sin x}}=\int {\frac {\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}{1+\beta {\frac {2t}{1+t^{2}}}}}=\int {\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+2\beta t+t^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655ad40f6a0aadc53faaf2c31db89dac01fb3f59)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\text{si }}\beta =1:&-{\frac {2}{t+1}}+C_{k}=-{\frac {2}{\tan(x/2)+1}}+C_{k},\quad x\in \left]-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,-{\frac {\pi }{2}}+(k+1)\pi \right[,\quad k\in \mathbb {Z} \\{\text{si }}\beta =-1:&-{\frac {2}{t-1}}+C_{k}=-{\frac {2}{\tan(x/2)-1}}+C_{k},\quad x\in \left]{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+(k+1)\pi \right[,\quad k\in \mathbb {Z} \\{\text{si }}|\beta |<1:&{\frac {2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\arctan {\frac {t+\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}+C_{k}={\frac {2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\arctan {\frac {\tan(x/2)+\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}+C_{k},\quad x\in \left]-\pi +2k\pi ,\pi +2k\pi \right[,\quad k\in \mathbb {Z} .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177bd758e47c12687617088c6fbfd57768157dec)
Dans le troisième cas, pour obtenir une primitive sur
tout entier, il suffit de choisir les
de façon cohérente :
.
Calculer une primitive de
;
.
Solution
Le changement de variable
donne :
;
.
Calculer des primitives de :
;
.
Solution
- Posons (d'après les règles de Bioche)
. Ainsi,
.
On peut aussi reconnaître en
la dérivée de la fonction artanh, ce qui donne immédiatement :
.
On peut donner d'autres expressions de la primitive obtenue :
;
.
Une variante est d'appliquer, au lieu des règles de Bioche, le changement de variable général
. Ainsi, on retrouve directement
.
- Posons (d'après les règles de Bioche)
. Ainsi,
.
On peut donner d'autres expressions de la primitive obtenue :
.
Une variante est d'appliquer, au lieu des règles de Bioche, le changement de variable général
. Ainsi,
(d'après l'identité trigonométrique
).
On peut aussi déduire les réponses à cette question de celles de la question précédente, puisque
.
(Trigonométrie hyperbolique) Calculer des primitives de :
;
;
;
;
.
Solution
- (
)
.
- (
)
,
ou (
)
.
Vérification :
et
.
- (
)
.
- (
)
,
ou (
)
.
Vérification :
et
,
ou (
)
.
- (
, pour
)
.