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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Calcul avec les nombres complexes : Opérations sous forme algébrique
Calcul avec les nombres complexes/Opérations sous forme algébrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les nombres complexes respectent les règles valables pour les quatre opérations sur les nombres réels (addition, soustraction, multiplication et division).
Propriété
Deux
nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs
parties réelles sont égales et leurs
parties imaginaires sont égales.
Ceci signifie, pour deux nombres complexes
et
:
si et seulement si 
Propriété
Pour
additionner deux nombres complexes sous forme algébrique, on additionne :
- leurs parties réelles entre elles
- leurs parties imaginaires entre elles
- Pour
et
, on a 
Début de l'exemple
Addition de deux nombres complexes
Soient

et

.
On a :

Fin de l'exemple
La soustraction se fait de la même manière :
Début de l'exemple
Soustraction de deux nombres complexes
Soient

et

.
On a :

Fin de l'exemple
Propriété
La
multiplication de deux nombres complexes se fait en appliquant la règle de
distributivité de la multiplication sur l'addition.
Pour
et
, on a :
.
- On sait de plus que
.
- Donc
.
Cette formule n'a pas à être retenue par cœur : il est plus facile de refaire le calcul dans chaque exemple.
Début de l'exemple
Multiplication de deux nombres complexes
Soient

et

.
On a

Fin de l'exemple
La propriété de i que nous allons voir ici est assez simple mais il ne faut pas l'oublier pour les calculs par la suite.
Sachant que
, voici le calcul des autres puissances de
:
car 







Propriété
Soit

, et la division euclidienne de

par

:

.
On a :
Le reste r ne peut avoir que quatre valeurs différentes (0, 1, 2 et 3) et alors
ne peut avoir que quatre valeurs différentes :
;
;
;
.
La représentation des images des puissances de i dans le plan complexe sont les quatre intersections des axes avec le cercle trigonométrique.
Début de l'exemple
Division de deux nombres complexes
Soient

et

.
On a
On est ici dans une impasse car il faudrait remonter
i au numérateur, ou bien on peut passer en forme polaire et dans ce cas, les modules se divisent et les arguments se soustraient.
Fin de l'exemple
La division de deux nombres complexes sous forme algébrique utilise la notion de complexe conjugué, qui fait l’objet d'un chapitre spécifique.
Les nombres complexes ont été inventés car ils permettent (entre autres) de résoudre toutes les équations du second degré, même celles qui ont un discriminant négatif.
Début de l'exemple
Exemple
L'équation

a pour discriminant :
.
Elle n'a donc pas de solutions réelles. En revanche, en passant dans l’ensemble des nombres complexes, nous pouvons écrire que :
.
Nous pouvons alors résoudre l'équation avec les formules habituelles :
L'équation du second degré

admet donc

et

comme solutions complexes.
Fin de l'exemple
Vous pouvez vous référer au cours sur les équations du second degré si nécessaire.