Calcul avec les nombres complexes/Représentation géométrique

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Pour comprendre les nombres complexes, il faut pouvoir les visualiser dans un espace que nous connaissons au préalable. Le problème est que ces nombres complexes n'ont pas de représentation physique, nous ne pouvons par exemple les ordonner sur une règle, chose facile à faire pour les nombres réels.

Néanmoins, le plan complexe (appelé aussi plan d'Argand ou plan d'Argand-Cauchy) permet de résoudre ce problème.

Affixe d’un point du plan

Définition

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on associe au point M de coordonnées $(a,b)$

son affixe, le nombre complexe $z=a+\mathrm {i} b$.

M est appelé image de $z$

On a ainsi une correspondance entre les nombres complexes et les points du plan, qui permet de représenter géométriquement les nombres complexes :

• la partie réelle du nombre complexe est l'abscisse de son image ;
• sa partie imaginaire est l'ordonnée de son image.

Graphiquement, on obtient :

Début de l'exemple

Exemple

Dans le graphique ci-contre, on assimile les nombres complexes à leurs images. Par exemple :

le point de coordonnées $(3,-4)$ et son affixe, le nombre complexe $z_{4}=3-4\mathrm {i}$.

Fin de l'exemple

Affixe d’un vecteur

Définition

Au vecteur ${\vec {u}}$ de coordonnées ${\begin{array}{|l}x\\y\\\end{array}}$, on associe son affixe $z=x+\mathrm {i} y$.

Propriétés de l'affixe

Affixe d’un vecteur

Propriété

L'affixe d’un vecteur ${\overrightarrow {AB}}$ est : $z_{\overrightarrow {AB}}=z_{B}-z_{A}$.

Début de l'exemple

Exemple

Dans la figure ci-contre, on a les points $A(1,1)$ et $B(4,3)$.

L'affixe d’un vecteur ${\overrightarrow {AB}}$ est : $z_{\overrightarrow {AB}}=z_{B}-z_{A}=(4+3\mathrm {i} )-(1+\mathrm {i} )=3+2\mathrm {i}$.

En effet, les coordonnées de ${\overrightarrow {AB}}$ sont :

${\begin{array}{|l}x_{B}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}\end{array}}={\begin{array}{|l}4-1\\3-1\end{array}}={\begin{array}{|l}3\\2\end{array}}$.

Fin de l'exemple

Affixe d’un milieu

Propriété

L'affixe du milieu $I$ d’un segment $[AB]$ est $z_{I}=z_{\overrightarrow {OI}}={\frac {z_{B}+z_{A}}{2}}$.

Début de l'exemple

Exemple

Toujours dans la figure ci-contre dont les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées respectives $(1,1)$ et $(4,3)$.

${\overrightarrow {OI}}$, l'affixe du milieu du vecteur ${\overrightarrow {AB}}$ est : $z_{\overrightarrow {OI}}={\frac {z_{B}+z_{A}}{2}}={\frac {(4+3\mathrm {i} )+(1+\mathrm {i} )}{2}}={\frac {5+4\mathrm {i} }{2}}={\frac {5}{2}}+2\mathrm {i}$.

Les coordonnées de ${\overrightarrow {OI}}$ sont :

${\begin{array}{|l}\displaystyle {\frac {x_{B}+x_{A}}{2}}\\\displaystyle {\frac {y_{B}+y_{A}}{2}}\end{array}}={\begin{array}{|l}\displaystyle {\frac {4+1}{2}}\\\displaystyle {\frac {3+1}{2}}\end{array}}={\begin{array}{|l}\displaystyle {\frac {5}{2}}\\2\end{array}}$.

Fin de l'exemple

Parallélisme et alignement

Propriété

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {CD}}$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ (non nul) tel que ${\overrightarrow {AB}}=k\;{\overrightarrow {CD}}$, ce qui équivaut à : $\operatorname {Im} \left({\frac {z_{B}-z_{A}}{z_{D}-z_{C}}}\right)=0$.