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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Calcul avec les nombres complexes : Représentation géométrique Calcul avec les nombres complexes/Représentation géométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour comprendre les nombres complexes, il faut pouvoir les visualiser dans un espace que nous connaissons au préalable. Le problème est que ces nombres complexes n'ont pas de représentation physique, nous ne pouvons par exemple les ordonner sur une règle, chose facile à faire pour les nombres réels.
Néanmoins, le plan complexe (appelé aussi plan d'Argand ou plan d'Argand-Cauchy ) permet de résoudre ce problème.
Définition
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on associe au point
M de coordonnées
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
son affixe, le nombre complexe
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+\mathrm {i} b}
.
M est appelé
image de
z
{\displaystyle z}
On a ainsi une correspondance entre les nombres complexes et les points du plan, qui permet de représenter géométriquement les nombres complexes :
la partie réelle du nombre complexe est l'abscisse de son image ;
sa partie imaginaire est l'ordonnée de son image.
Graphiquement, on obtient :
Début de l'exemple
Exemple
Dans le graphique ci-contre, on assimile les nombres complexes à leurs images. Par exemple :
le point de coordonnées
(
3
,
−
4
)
{\displaystyle (3,-4)}
et son affixe, le nombre complexe
z
4
=
3
−
4
i
{\displaystyle z_{4}=3-4\mathrm {i} }
.
Fin de l'exemple
Définition
Au vecteur
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
de coordonnées
x
y
{\displaystyle {\begin{array}{|l}x\\y\\\end{array}}}
, on associe son affixe
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}
.
Propriété
L'affixe d’un vecteur
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
est :
z
A
B
→
=
z
B
−
z
A
{\displaystyle z_{\overrightarrow {AB}}=z_{B}-z_{A}}
.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Propriété
L'affixe du milieu
I
{\displaystyle I}
d’un segment
[
A
B
]
{\displaystyle [AB]}
est
z
I
=
z
O
I
→
=
z
B
+
z
A
2
{\displaystyle z_{I}=z_{\overrightarrow {OI}}={\frac {z_{B}+z_{A}}{2}}}
.
Début de l'exemple
Exemple
Toujours dans la figure ci-contre dont les points
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
ont pour coordonnées respectives
(
1
,
1
)
{\displaystyle (1,1)}
et
(
4
,
3
)
{\displaystyle (4,3)}
.
O
I
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OI}}}
, l'affixe du milieu du vecteur
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
est :
z
O
I
→
=
z
B
+
z
A
2
=
(
4
+
3
i
)
+
(
1
+
i
)
2
=
5
+
4
i
2
=
5
2
+
2
i
{\displaystyle z_{\overrightarrow {OI}}={\frac {z_{B}+z_{A}}{2}}={\frac {(4+3\mathrm {i} )+(1+\mathrm {i} )}{2}}={\frac {5+4\mathrm {i} }{2}}={\frac {5}{2}}+2\mathrm {i} }
.
Les coordonnées de
O
I
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OI}}}
sont :
x
B
+
x
A
2
y
B
+
y
A
2
=
4
+
1
2
3
+
1
2
=
5
2
2
{\displaystyle {\begin{array}{|l}\displaystyle {\frac {x_{B}+x_{A}}{2}}\\\displaystyle {\frac {y_{B}+y_{A}}{2}}\end{array}}={\begin{array}{|l}\displaystyle {\frac {4+1}{2}}\\\displaystyle {\frac {3+1}{2}}\end{array}}={\begin{array}{|l}\displaystyle {\frac {5}{2}}\\2\end{array}}}
.
Fin de l'exemple
Propriété
Deux droites
(
A
B
)
{\displaystyle (AB)}
et
(
C
D
)
{\displaystyle (CD)}
sont parallèles si et seulement si les vecteurs
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
et
C
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel
k
{\displaystyle k}
(non nul) tel que
A
B
→
=
k
C
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=k\;{\overrightarrow {CD}}}
, ce qui équivaut à :
Im
(
z
B
−
z
A
z
D
−
z
C
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {z_{B}-z_{A}}{z_{D}-z_{C}}}\right)=0}
.