Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Exercices sur la forme algébrique

Pour le cours correspondant à ces exercices, voir les chapitres 1, 2, 4 et 5 de la leçon Calcul avec les nombres complexes.

Pour répondre 0 (zéro) à une question , merci de remplir le champ par un O (lettre O) et non pas par un chiffre 0.

Parties réelles et imaginaires

Donner les parties réelles et imaginaires de ces nombres complexes sous forme algébrique.

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

1 $z=2+3.i$

Partie réelle :

Partie imaginaire :

2 $z=2.i+3$

Partie réelle :

Partie imaginaire :

3 $z=3-2.i$

Partie réelle :

Partie imaginaire :

4 $z=-1+i$

Partie réelle :

Partie imaginaire :

5 $z=2.i$

Partie réelle :

Partie imaginaire :

6 $z=-i$

Partie réelle :

Partie imaginaire :

7 $z=3$

Partie réelle :

Partie imaginaire :

8 $z=0$

Partie réelle :

Partie imaginaire :

9 Quand la partie réelle d'un nombre complexe est nulle, on dit qu’il est imaginaire pur. Cochez les cases qui sont devant des complexes imaginaires purs ?

	$z=2+3.i$
	$z=2.i+3$
	$z=3-2.i$
	$z=-1+i$
	$z=2.i$
	$z=-i$
	$z=3$
	$z=0$

Addition sous forme algébrique

Additionner les nombres complexes z₁ et z₂ donnés sous forme algébrique pour obtenir leur somme z₁ + z₂ sous forme algébrique.

Indication : rassembler les termes qui contiennent des i, mettre i en facteur et simplifier.

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

1 $z_{1}=5+4.i$ et $z_{2}=3+2.i$

z₁ + z₂ = + i

2 $z_{1}=-5+4.i$ et $z_{2}=3-2.i$

z₁ + z₂ = + i

3 $z_{1}=i$ et $z_{2}=3-2.i$

z₁ + z₂ = + i

4 $z_{1}=2$ et $z_{2}=3-2.i$

z₁ + z₂ = + i

Soustraction sous forme algébrique

La soustraction se fait de la même manière que l'addition.

Attention quand même car le "moins" se distribue à l’ensemble du nombre complexe que l’on soustrait.

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

1 $z_{1}=5+4.i$ et $z_{2}=3+2.i$

z₁ - z₂ = + i

2 $z_{1}=-5+4.i$ et $z_{2}=3-2.i$

z₁ - z₂ = + i

3 $z_{1}=i$ et $z_{2}=3-2.i$

z₁ - z₂ = + i

4 $z_{1}=2$ et $z_{2}=3-2.i$

z₁ - z₂ = + i

Multiplication

Soit les nombres complexes $z=2-3i$ et $z'=-4+i$.

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique.

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

1 $z+z'$

= + i

2 $3z-2z'$

= + i

3 $z\times z'$

= + i

4 $z^{2}$

= + i

5 $z'^{3}$

= + i

6 $(1-z)(5+z')$

= + i

Division de nombres complexes

Exercice

Nous allons décomposer $z_{1}$ et $z_{2}$ pour les mettre sous forme algébrique.

Illustration des exemples

Début de l'exemple

Exemple

Mettre les nombres $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme algébrique :

$z_{1}={\frac {-1+2i}{5}}=...$
​$z_{2}={\frac {-1-2i}{5}}=...$.

Fin de l'exemple

Solution

Décomposition d'un nombre complexe : Décomposition de $z_{1}$ et $z_{2}$.

$z_{1}={\frac {-1+2i}{5}}={\frac {-1}{5}}+i{\frac {2}{5}}$ où $x={\frac {-1}{5}}\in \mathbb {R}$ et $y={\frac {2}{5}}\in \mathbb {R}$
et
$z_{2}={\frac {-1-2i}{5}}={\frac {-1}{5}}+i{\frac {-2}{5}}$ où $x={\frac {-1}{5}}\in \mathbb {R}$ et $y={\frac {-2}{5}}\in \mathbb {R}$
Notons bien que ces deux décompositions sont uniques, comme le dit la définition.

 

Exercice : Valeurs prises par un polynôme, représentation géométrique

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

Soit $P(z)$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : $P(z)=z^{2}-4z+13$.

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

$P(0)$ = + i

$P(i)$ = + i

$P(2+3i)$ = + i

$P(2-3i)$ = + i

2. Dans le plan complexe d'unité graphique 1 cm, placer les images des nombres précédents.

Exercice

Soit $z={\frac {3-2i}{5+i}}$ et $z'={\frac {3+2i}{5-i}}$ deux nombres complexes.

1. Vérifier que $z'={\bar {z}}$

Solution

Faisons le calcul de ${\bar {z}}$ :

${\begin{aligned}{\bar {z}}&={\overline {\left({\frac {3-2i}{5+i}}\right)}}\\&={\frac {\overline {3-2i}}{\overline {5+i}}}\\&={\frac {3+2i}{5-i}}=z'\end{aligned}}$

 

2. Démontrer que $z+z'$ est un nombre réel et que $z-z'$ est un imaginaire pur.

Solution

• $\Re (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ donc $z+z'=z+{\bar {z}}=2\Re (z)$ donc $z+z'$ est un nombre réel
• $\Im (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$ donc $z-z'=z-{\bar {z}}=2i\Im (z)$ donc $z-z'$ est un nombre imaginaire pur

 

3. Dans le plan complexe d'unité graphique 1 cm, placer les images des nombres précédents.

Solution

 

Exercice

On donne $z_{1}=-2+3i$ et $z_{2}=3+i$

Les fractions doivent être entrées complètement simplifiées à l'aide du slash /.

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

1 Calculer $z_{1}+z_{2}$

z₁ + z₂ = + i

2 Calculer $z_{1}-z_{2}$

z₁ - z₂ = + i

3 Calculer $z_{1}\times z_{2}$

z₁ z₂ = + i

4 Calculer ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$ = + i

Exercice

On donne $z_{1}=-3+2i$ et $z_{2}=3-i$

Les fractions doivent être entrées complètement simplifiées à l'aide du slash /.

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

1 Calculer $z_{1}+z_{2}$

z₁ + z₂ = + i

2 Calculer $z_{1}-z_{2}$

z₁ - z₂ = + i

3 Calculer $z_{1}\times z_{2}$

z₁ z₂ = + i

4 Calculer ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$ = + i

Exercice

On donne $z_{1}=-5+2i$ et $z_{2}={\frac {3}{7}}-i$

On donnera les nombres complexes sous forme algébrique, les fractions devant être simplifiées.

a) $z_{1}-z_{2}$

Solution

${\begin{aligned}z_{1}-z_{2}&=-5+2i-({\frac {3}{7}}-i)\\&=-5+2i-{\frac {3}{7}}+i\\&=-{\frac {38}{7}}+3i\end{aligned}}$

 

b) $z_{1}\times z_{2}$

Solution

${\begin{aligned}z_{1}\times z_{2}&=(-5+2i)\times ({\frac {3}{7}}-i)\\&=-{\frac {15}{7}}+5i+{\frac {6}{7}}i+2\\&=-{\frac {15}{7}}+{\frac {14}{7}}+{\frac {35}{7}}i+{\frac {6}{7}}i\\&=-{\frac {1}{7}}+{\frac {41}{7}}i\end{aligned}}$

 

c) $|z_{1}|$

Solution

${\begin{aligned}|z_{1}|&=|-5+2i|\\&={\sqrt {(-5)^{2}+2^{2}}}\\&={\sqrt {25+4}}\\&={\sqrt {29}}\end{aligned}}$

 

d) ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$

Solution

${\begin{aligned}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}&={\frac {-5+2i}{{\frac {3}{7}}-i}}\\&={\frac {(-5+2i)({\frac {3}{7}}+i)}{({\frac {3}{7}}-i)({\frac {3}{7}}+i)}}\\&={\frac {-{\frac {15}{7}}-5i+{\frac {6}{7}}i-2}{{\frac {9}{49}}+1}}\\&={\frac {-{\frac {29}{7}}-{\frac {29}{7}}i}{\frac {58}{49}}}\\&=-{\frac {29}{7}}\times {\frac {49}{58}}-{\frac {29}{7}}i\times {\frac {49}{58}}\\&=-{\frac {7}{2}}-{\frac {7}{2}}i\end{aligned}}$

 

e) $z_{1}^{3}$

Solution

${\begin{aligned}z_{1}^{3}&=(-5+2i)^{3}\\&=(-5)^{3}+3\times (-5)^{2}\times 2i+3\times -5\times (2i)^{2}+(2i)^{3}\\&=-125+150i+60-8i\\&=-65+142i\end{aligned}}$

Avertissement :

Petit rappel : $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

 

Simplification

Mettre sous la forme $a+i.b(a,b\in \mathbb {R} )$ les nombres :

a) ${\frac {3+6i}{3-4i}}$

Solution

${\begin{aligned}{\frac {3+6i}{3-4i}}&={\frac {(3+6i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}\\&={\frac {9+12i+18i-24}{9+16}}\\&={\frac {-15+30i}{25}}\\&=-{\frac {3}{5}}+{\frac {6}{5}}i\end{aligned}}$

 

b) $\left({\frac {1+i}{2-i}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}$

Solution

${\begin{aligned}\left({\frac {1+i}{2-i}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}&=\left({\frac {(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}\\&=\left({\frac {2+i+2i-1}{4+1}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}\\&=\left({\frac {1+3i}{5}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}\\&={\frac {1}{25}}+{\frac {6}{25}}i-{\frac {9}{25}}-{\frac {3}{5}}+{\frac {6}{5}}i\\&=-{\frac {8}{25}}+{\frac {6}{25}}i-{\frac {15}{25}}+{\frac {30}{25}}i\\&=-{\frac {23}{25}}+{\frac {36}{25}}i\end{aligned}}$

 

c) ${\frac {2+5i}{1-i}}+{\frac {2-5i}{1+i}}$

Solution

${\frac {2+5i}{1-i}}+{\frac {2-5i}{1+i}}=2\times Re({\frac {2+5i}{1-i}})$

Avertissement :

Petit rappel : $z+{\bar {z}}=2\times Re(z)$ avec Re $=$ Réel

${\begin{aligned}{\frac {2+5i}{1-i}}&={\frac {(2+5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}}\\&=-{\frac {3}{2}}+{\frac {7}{2}}i\end{aligned}}$
Donc : ${\frac {2+5i}{1-i}}+{\frac {2-5i}{1+i}}=2\times -{\frac {3}{2}}=-3$

 

d) ${\frac {5+2i}{1-2i}}$

Solution

${\begin{aligned}{\frac {5+2i}{1-2i}}&={\frac {(5+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}\\&={\frac {5+10i+2i-4}{1+4}}\\&={\frac {1}{5}}+{\frac {12}{5}}i\end{aligned}}$

 

e) $\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}$

Solution

${\begin{aligned}\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}&=\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{3}+3\times \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\times {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}+3\times -{\frac {1}{2}}\times \left({\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{3}\\&=-{\frac {1}{8}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{8}}+{\frac {9}{8}}-{\frac {3i{\sqrt {3}}}{8}}\\&=1\end{aligned}}$

 

f) ${\frac {(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}}}$

Solution

${\begin{aligned}{\frac {(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}}}&={\frac {1+i}{1-i}}\times {\frac {(1+i)^{8}}{(1-i)^{6}}}\\&=i\times {\frac {(1+i)^{8}}{(1-i)^{6}}}\\&=i^{7}\times (1+i)^{2}\\&=i^{7}\times 2i\\&=2\end{aligned}}$