Leçons de niveau 13

Arithmétique/Exercices/Division euclidienne

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Division euclidienne
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Exercices no1
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : Divisibilité et congruences dans Z

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Multiples et diviseurs
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Arithmétique/Exercices/Division euclidienne
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Si l'on divise 4 294 et 3 521 par un même entier positif, on obtient respectivement pour restes 10 et 11. Quel est ce nombre ?

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Dans une division euclidienne entre deux entiers positifs, quels peuvent être le diviseur et le reste dont le dividende est 1 517 et le quotient 75 ?

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

On divise cinq entiers naturels consécutifs par 5. Combien obtient-on de restes distincts et quels sont ces restes ?

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux naturels, avec b non nul. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient n'est pas nul. Prouvez que a est strictement supérieur au double du reste.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux naturels. Dans la division euclidienne de a par b, le reste est supérieur ou égal au quotient q. Prouvez que si l'on divise a par b + 1, on obtient le même quotient.

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Trouver un nombre qui, divisé par 21, donne pour reste 4 et qui, divisé par 17, donne le même quotient et pour reste 16.

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

Le dividende d'une division est inférieur à 900. Le quotient est 72 et le reste 12. On cherche le diviseur et dividende. Expliquer pourquoi il n'y a pas de solution.

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Dans une division euclidienne entre entiers naturels, quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39 ?

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Dans une division euclidienne entre entiers naturels, quels peuvent être le diviseur et le reste lorsque le dividende est 990 et le quotient 70 ?

Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]

On effectue la division euclidienne de x par 4 et l'on appelle y le quotient et r le reste.

  1. Écrivez les relations qui traduisent cette division.
  2. x étant donné, on lui associe y, définissant ainsi une suite. Représenter graphiquement cette suite pour x entier relatif de –12 à 11.

Exercice 1-11[modifier | modifier le wikicode]

On effectue la division euclidienne de x par 4 et l'on appelle q le quotient et y le reste.

  1. Écrivez les relations qui traduisent cette division.
  2. x étant donné, on lui associe y, définissant ainsi une suite. Démontrer que cette suite est périodique, et la représenter graphiquement pour x entier relatif de –12 à 11.

Exercice 1-12[modifier | modifier le wikicode]

b est un entier tel que 0 < b ≤ 11.

c et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de 132 par b.

  1. Écrivez les relations qui traduisent ces hypothèses.
  2. Démontrer que b ≤ c.
  3. Démontrer que dans la division euclidienne de 132 par c, le quotient est b et le reste est inchangé (c'est-à-dire r).
  4. Montrer par un contre-exemple que si l'on abandonne l'hypothèse : 0 < b ≤ 11, le résultat de la question 3 n'est pas toujours vrai.

Exercice 1-13[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont des entiers naturels tels que 0 < b2 ≤ a.

c et r sont respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b.

  1. Écrivez les relations qui traduisent ces hypothèses.
  2. Démontrer que b ≤ c.
  3. Démontrer que dans la division euclidienne de a par c, le quotient est b et le reste est inchangé (c'est-à-dire r).
  4. Trouver un contre-exemple qui montre que si a < b2, il peut arriver que le quotient de a par c ne soit pas égal à b.

Exercice 1-14[modifier | modifier le wikicode]

Soient a et b deux entiers relatifs distincts. On divise a et b par la différence a – b. Comparer les quotients et les restes de ces deux divisions euclidiennes.

Exercice 1-15[modifier | modifier le wikicode]

Soit b un entier strictement positif et q un entier relatif. Pour quels entiers relatifs a le quotient de la division de a par b est-il égal à q ?

Exercice 1-16[modifier | modifier le wikicode]

Une division d'entiers positifs étant effectuée, on recommence la même opération après avoir augmenté le diviseur de x unités (x ≥ 0).

Peut-on choisir x non nul pour que les deux opérations conduisent au même quotient ?

Lorsque le problème est possible, indiquer un procédé pour déterminer les solutions.