Approfondissement sur les suites numériques/Définitions

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Nous introduisons dans ce chapitre les notions générales qui seront utiles dans le reste de la leçon.

Suite récurrente

Définition

On appelle suite récurrente d'ordre un un ensemble d'objets ordonnés, noté :

$\left(u_{n}\right)_{n\in I},\;I\subset \mathbb {N}$

vérifiant pour tout n dans I une relation (dite relation de récurrence) de la forme :

$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$

où ƒ est une fonction donnée. Dans toute la suite, nous considèrerons le cas $I=\mathbb {N}$ pour pouvoir étudier la limite de telles suites en $+\infty$.

On peut définir une telle suite de différentes manières, qui ne sont pas nécessairement aussi explicites.

Une des raisons pour lesquelles nous nous limitons aux relations de récurrence du premier ordre est qu’il n'existe pas de méthode générale pour étudier les suites vérifiant des relations d'ordre supérieur.

Dans l'absolu, une suite peut concerner tout objet mathématique abstrait (des matrices, des fonctions...). Nous nous limiterons ici à l'étude de suites de nombres, réels ou complexes.

Suites réelles ou complexes

On appelle suite réelle une suite de nombre réels, suite complexe une suite de nombres complexes. L'ensemble des suites réelles est noté :

$\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$

et l’ensemble des suites complexes est noté :

$\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$

Ces deux cas étant similaires, nous noterons de manière générique $\mathbb {K} =\mathbb {R} \,\mathrm {ou} \,\mathbb {C}$. L'étude d'une suite complexe se fait en séparant partie réelle et partie imaginaire, qui constituent chacune une suite réelle.

Convergence, divergence, limite

Suite convergente

Nous devons préciser la notion de convergence d'une suite. On dit qu'une suite (u_n) est convergente lorsqu’il existe $l\in \mathbb {K}$ tel que :

$\forall \varepsilon >0,\;\exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\in \mathbb {N} ,\qquad \left(n\geq N\right)\Rightarrow \left|u_{n}-l\right|\leq \varepsilon .$

Lorsqu'une suite (u_n) est convergente, on appelle limite de la suite la quantité :

$\lim _{n\to \infty }u_{n}$

Divergence

Une suite est dite divergente lorsque :

$\forall M\in \mathbb {R} ,\,\exists N\in \mathbb {N} ,\,\forall n\in \mathbb {N} ,\qquad \left(n\geq N\right)\Rightarrow \left|u_{n}\right|\geq M.$

Attention ! Une suite qui n'est pas convergente n'est pas nécessairement divergente pour autant ! De même, une suite qui ne diverge pas n'est pas convergente pour autant ! Il existe des suites non-convergentes, qui n'admettent tout simplement pas de limite en $+\infty$.

Point fixe

Point fixe d'une fonction

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I. On appelle point fixe de ƒ tout élément x de I vérifiant :

$f\left(x\right)=x$

Intervalle, intervalle stable

Intervalle

Soit a et b deux éléments de $\mathbb {R} \cup \{-\infty ;\,+\infty \}$.

• On appelle intervalle [a, b] l’ensemble des réels compris entre a et b.
• On appelle intervalle ]a, b] l’ensemble des réels compris entre a et b, a exclus.
• On appelle intervalle [a, b[ l’ensemble des réels compris entre a et b, b exclus.
• On appelle intervalle ]a, b[ l’ensemble des réels compris entre a et b, a et b exclus.

Toute intersection d'intervalles est un intervalle. Une union d'intervalles est un intervalle si et seulement si cette union est connexe (s'il n'y a pas de trou). L'ensemble vide est un intervalle. Un intervalle peut être réduit à un point, lorsque a = b.

Intervalle stable

Soient un intervalle A et une fonction ƒ. On dit que A est un intervalle stable par ƒ lorsque :

$f\left(A\right)\subset A$

Si $\mathbb {R}$ est bien un intervalle, $\mathbb {R} ^{*}$, n’est pas un intervalle. De même, $\left[1,2\right]\cup \left[3,4\right]$ n’est pas un intervalle (il y a un «trou » entre 2 et 3). Ce sont des ensembles, pas des intervalles.

Continuité uniforme, fonction lipschitzienne

Pour plus de détails, voir le chapitre « Continuité uniforme » de la leçon « Fonctions d'une variable réelle ».

Fonction uniformément continue

On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle I est uniformément continue lorsque :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall \left(x,y\right)\in I^{2}\quad \left|x-y\right|\leq \delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq \varepsilon$.

Fonction lipschitzienne

On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle I est lipschitzienne si, pour une certaine constante $k$ :

$\forall x,y\in I\quad \left|f(x)-f(y)\right|\leq k\left|x-y\right|$.

On dit alors que $f$ est $k$-lipschitzienne.

Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue.