Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Factorisations, linéarisations

Pour le cours correspondant à ces exercices, voir Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie.

Linéarisation

Linéarisation

Linéariser $\sin ^{3}x$.

Solution

Revoir le cours indiqué ci-dessus.

 

Calcul de primitive

Trouver une primitive de la fonction $f:x\mapsto \sin ^{2}x\cos ^{4}x$ définie sur $\mathbb {R}$.

Début d’un principe

Pour démarrer

• La première erreur à ne pas faire est de dire que l'intégrale d'un produit est le produit des intégrales. Ceci est totalement faux.
• La présence d'exposants élevés sur les fonctions trigonométriques empêche tout espoir de parvenir à ses fins par une salve d'intégrations par parties.
• L’idée est alors de linéariser l’expression pour transformer des produits en sommes de termes simples
• Il est ensuite facile d'intégrer chacun des termes et de sommer.

Fin du principe

Solution

$\sin ^{2}x\cos ^{4}x=\left({\frac {\sin 2x}{2}}\right)^{2}{\frac {1+\cos 2x}{2}}={\frac {\sin ^{2}y\left(1+\cos y\right)}{8}}={\frac {\sin ^{2}y}{8}}+{\frac {\sin ^{2}y\cos y}{8}}$ avec $y=2x$.

Or $\sin ^{2}y={\frac {1-\cos 2y}{2}}$ et (cf. cours indiqué ci-dessus) $\sin ^{2}y\cos y={\frac {\cos y-\cos 3y}{4}}$.

Donc $\sin ^{2}x\cos ^{4}x={\frac {1-\cos 4x}{16}}+{\frac {\cos 2x-\cos 6x}{32}}$ et

${\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos ^{4}x~\mathrm {d} x&=\int \left({\frac {1-\cos 4x}{16}}+{\frac {\cos 2x-\cos 6x}{32}}\right)~\mathrm {d} x\\&=\left[{\frac {x}{16}}-{\frac {\sin 4x}{64}}+{\frac {\sin 2x}{64}}-{\frac {\sin 6x}{192}}\right].\end{aligned}}$

 

Calculs explicites de sommes

Somme 1

Soit $(n,x)\in \mathbb {N} \times \mathbb {R}$.

Exprimer $\sum _{p=0}^{n}\cos(px)$ sans symbole de sommation.

Solution

Cette somme est égale à $n+1$ si $x\in 2\pi \mathbb {Z}$ et à $\cos \left({\frac {nx}{2}}\right){\frac {\sin \left({\frac {(n+1)x}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}$ sinon : cf. Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 5-4.

 

Somme 2

Soit $(n,x)\in \mathbb {N} \times \mathbb {R}$.

Exprimer $\sum _{p=0}^{n}\cos ^{2}(px)$ sans symbole de sommation.

Solution

• 1° étape : On linéarise l’expression à sommer :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\forall p\in \mathbb {N} ,~\cos ^{2}(px)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$

• 2° étape : On remplace :

$\sum _{p=0}^{n}\cos ^{2}(px)=\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{p=0}^{n}\cos(2x)$

• 3° étape : On réutilise la question précédente pour conclure :

Finalement : Si $x\not \in \pi \mathbb {Z} ,~\sum _{p=0}^{n}\cos ^{2}(px)={\frac {n+1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos(nx){\frac {\sin((n+1)x)}{\sin(x)}}$ Si $x\in \pi \mathbb {Z} ,~\sum _{p=0}^{n}\cos ^{2}(px)=n+1$