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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Sujets de bacApplications techniques des nombres complexes/Exercices/Sujets de bac », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Cet exercice est tombé au Bac STI 2007.
1. Résoudre dans l’ensemble
C
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }
z
2
+
4
z
+
16
=
0
{\displaystyle \textstyle z^{2}+4z+16=0}
2. Pour tout nombre complexe z , on pose
P
(
z
)
=
z
3
−
64
{\displaystyle \textstyle P\left(z\right)=z^{3}-64}
a) Calculer P (4).b) Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z ,
P
(
z
)
=
(
z
−
4
)
(
a
z
2
+
b
z
+
c
)
{\displaystyle P\left(z\right)=\left(z-4\right)\left(az^{2}+bz+c\right)}
c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation P (z ) = 0.
Solution
1.
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
4
2
−
4
×
16
=
−
48
=
48
i
2
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=4^{2}-4\times 16=-48=48i^{2}}
z
1
,
2
=
−
b
±
Δ
2
a
{\displaystyle z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
{
z
1
=
−
b
+
Δ
2
a
=
−
4
+
48
i
2
2
×
1
=
−
4
+
4
i
3
2
=
−
2
+
2
i
3
z
2
=
−
b
−
Δ
2
a
=
−
4
−
48
i
2
2
×
1
=
−
4
−
4
i
3
2
=
−
2
−
2
i
3
{\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-4+{\sqrt {48i^{2}}}}{2\times 1}}={\frac {-4+4i{\sqrt {3}}}{2}}=-2+2i{\sqrt {3}}\\z_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-4-{\sqrt {48i^{2}}}}{2\times 1}}={\frac {-4-4i{\sqrt {3}}}{2}}=-2-2i{\sqrt {3}}\\\end{cases}}}
2.a)
P
(
z
)
=
z
3
−
64
{\displaystyle P(z)=z^{3}-64}
P
(
4
)
=
4
3
−
64
=
64
−
64
{\displaystyle P(4)=4^{3}-64=64-64}
P
(
4
)
=
0
{\displaystyle P(4)=0}
2.b)
P
(
z
)
=
(
z
−
4
)
(
a
z
2
+
b
z
+
c
)
{\displaystyle P(z)=(z-4)(az^{2}+bz+c)}
P
(
z
)
=
a
z
3
+
b
z
2
+
c
z
−
4
a
z
2
−
4
b
z
−
4
c
=
a
z
3
+
(
b
−
4
a
)
z
2
+
(
c
−
4
b
)
z
−
4
c
{\displaystyle P(z)=az^{3}+bz^{2}+cz-4az^{2}-4bz-4c=az^{3}+(b-4a)z^{2}+(c-4b)z-4c}
{
a
=
1
b
−
4
a
=
0
c
−
4
b
=
0
−
4
c
=
−
64
⇔
{
a
=
1
b
−
4
=
0
c
−
4
b
=
0
c
=
16
⇔
{
a
=
1
b
=
4
16
−
4
b
=
0
c
=
16
⇔
{
a
=
1
b
=
4
16
−
4
×
4
=
0
c
=
16
{\displaystyle {\begin{cases}a=1\\b-4a=0\\c-4b=0\\-4c=-64\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b-4=0\\c-4b=0\\c=16\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=4\\16-4b=0\\c=16\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=4\\16-4\times 4=0\\c=16\\\end{cases}}}
P
(
z
)
=
(
z
−
4
)
(
z
2
+
4
z
+
16
)
{\displaystyle P(z)=(z-4)(z^{2}+4z+16)}
3.c)
{
z
1
=
4
z
2
=
−
2
+
2
i
3
z
3
=
−
2
−
2
i
3
{\displaystyle {\begin{cases}z_{1}=4\\z_{2}=-2+2i{\sqrt {3}}\\z_{3}=-2-2i{\sqrt {3}}\\\end{cases}}}
Source : Sujet d'examen : 2007
On considère l'équation (E) :
z
3
−
(
4
+
i
)
z
2
+
(
13
+
4
i
)
z
−
13
i
=
0
{\displaystyle z^{3}-\left(4+i\right)z^{2}+\left(13+4i\right)z-13i=0}
z est un nombre complexe.
1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de l'équation.
2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z
3
−
(
4
+
i
)
z
2
+
(
13
+
4
i
)
z
−
13
i
=
(
z
−
i
)
(
a
z
2
+
b
z
+
c
)
{\displaystyle z^{3}-\left(4+i\right)z^{2}+\left(13+4i\right)z-13i=\left(z-i\right)\left(az^{2}+bz+c\right)}
En déduire les solutions de l'équation (E).
Solution
1.
z
3
−
(
4
+
i
)
z
2
+
(
13
+
4
i
)
z
−
13
i
=
0
{\displaystyle z^{3}-(4+i)z^{2}+(13+4i)z-13i=0}
i
3
−
(
4
+
i
)
i
2
+
(
13
+
4
i
)
i
−
13
i
=
−
i
+
(
4
+
i
)
+
(
13
+
4
i
)
i
−
13
i
=
−
i
+
4
+
i
+
13
i
−
4
−
13
i
=
0
{\displaystyle i^{3}-(4+i)i^{2}+(13+4i)i-13i=-i+(4+i)+(13+4i)i-13i=-i+4+i+13i-4-13i=0}
2.
z
3
−
(
4
+
i
)
z
2
+
(
13
+
4
i
)
z
−
13
i
=
(
z
−
i
)
(
a
z
2
+
b
z
+
c
)
{\displaystyle z^{3}-(4+i)z^{2}+(13+4i)z-13i=(z-i)(az^{2}+bz+c)}
(
z
−
i
)
(
a
z
2
+
b
z
+
c
)
=
a
z
3
+
b
z
2
+
c
z
−
a
i
z
2
−
b
z
i
−
c
i
=
a
z
3
+
(
b
−
a
i
)
z
2
+
(
c
−
b
i
)
z
−
c
i
{\displaystyle (z-i)(az^{2}+bz+c)=az^{3}+bz^{2}+cz-aiz^{2}-bzi-ci=az^{3}+(b-ai)z^{2}+(c-bi)z-ci}
{
a
=
1
b
−
a
i
=
−
(
4
+
i
)
c
−
b
i
=
13
+
4
i
−
c
i
=
−
13
i
⇔
{
a
=
1
b
−
i
=
−
4
−
i
)
c
−
b
i
=
13
+
4
i
c
=
13
{\displaystyle {\begin{cases}a=1\\b-ai=-(4+i)\\c-bi=13+4i\\-ci=-13i\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b-i=-4-i)\\c-bi=13+4i\\c=13\\\end{cases}}}
⇔
{
a
=
1
b
=
−
4
13
−
b
i
=
13
+
4
i
c
=
13
⇔
{
a
=
1
b
=
−
4
13
+
4
i
=
13
+
4
i
c
=
13
⇔
{
a
=
1
b
=
−
4
c
=
13
{\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=-4\\13-bi=13+4i\\c=13\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=-4\\13+4i=13+4i\\c=13\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=-4\\c=13\\\end{cases}}}
(
z
−
i
)
(
z
2
−
4
z
+
13
)
=
0
{\displaystyle (z-i)(z^{2}-4z+13)=0}
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
(
−
4
)
2
−
4
×
13
=
16
−
52
=
−
36
=
36
i
2
=
(
6
i
)
2
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times 13=16-52=-36=36i^{2}=(6i)^{2}}
z
1
,
2
=
−
b
±
Δ
2
a
{\displaystyle z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
{
z
1
=
−
b
+
Δ
2
a
=
4
+
6
i
2
×
1
=
2
+
3
i
z
2
=
−
b
−
Δ
2
a
=
4
−
6
i
2
×
1
=
2
−
3
i
⇒
{
z
1
=
2
+
3
i
z
2
=
2
−
3
i
z
3
=
i
{\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {4+6i}{2\times 1}}=2+3i\\z_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {4-6i}{2\times 1}}=2-3i\\\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}z_{1}=2+3i\\z_{2}=2-3i\\z_{3}=i\\\end{cases}}}
Cet exercice est tombé au Bac STI 2007.
Déterminer les nombres complexes c et d vérifiant le système :
{
−
2
c
+
d
=
1
+
13
i
−
c
+
d
=
4
+
8
i
{\displaystyle {\begin{cases}-2c+d&=1+13i\\-c+d&=4+8i\end{cases}}}
Pour tout nombre complexe Z , on pose
P
(
Z
)
=
Z
4
−
1
{\displaystyle P(Z)=Z^{4}-1}
P (Z ).
b. En déduire les solutions dans l'ensemble
C
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }
des complexes de l'équation P (Z ) = 0.c. Déduire de la question précédente les solutions dans
C
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }
de l'équation d'inconnue z :
(
2
z
+
1
z
−
1
)
4
=
1
{\displaystyle \left({\frac {2z+1}{z-1}}\right)^{4}=1}
Solution
a.
P
(
Z
)
=
Z
4
−
1
{\displaystyle P(Z)=Z^{4}-1}
l'équation est de la forme
(
a
2
−
b
2
)
{\displaystyle (a^{2}-b^{2})}
P
(
Z
)
=
Z
4
−
1
=
(
Z
2
+
1
)
(
Z
2
−
1
)
=
(
Z
2
−
i
2
)
(
Z
2
−
1
2
)
{\displaystyle P(Z)=Z^{4}-1=(Z^{2}+1)(Z^{2}-1)=(Z^{2}-i^{2})(Z^{2}-1^{2})}
P
(
Z
)
=
(
Z
+
i
)
(
Z
−
i
)
(
Z
+
1
)
(
Z
−
1
)
{\displaystyle P(Z)=(Z+i)(Z-i)(Z+1)(Z-1)}
b.
{
Z
=
1
Z
=
−
1
Z
=
i
Z
=
−
i
{\displaystyle {\begin{cases}Z=1\\Z=-1\\Z=i\\Z=-i\end{cases}}}
c.
{
2
z
+
1
z
−
1
=
1
2
z
+
1
z
−
1
=
−
1
2
z
+
1
z
−
1
=
i
2
z
+
1
z
−
1
=
−
i
⇒
{
2
z
+
1
=
z
−
1
2
z
+
1
=
−
z
+
1
2
z
+
1
=
z
i
−
i
2
z
+
1
=
−
z
i
+
i
⇒
{
z
=
−
2
z
=
0
z
=
−
1
+
i
2
−
i
z
=
−
−
1
+
i
2
+
i
⇒
{
z
=
−
2
z
=
0
z
=
−
1
+
3
i
5
z
=
−
−
1
+
3
i
5
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {2z+1}{z-1}}=1\\{\frac {2z+1}{z-1}}=-1\\{\frac {2z+1}{z-1}}=i\\{\frac {2z+1}{z-1}}=-i\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}2z+1=z-1\\2z+1=-z+1\\2z+1=zi-i\\2z+1=-zi+i\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}z=-2\\z=0\\z=-{\frac {1+i}{2-i}}\\z=-{\frac {-1+i}{2+i}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}z=-2\\z=0\\z=-{\frac {1+3i}{5}}\\z=-{\frac {-1+3i}{5}}\end{cases}}}
