Leçons de niveau 14

Analyse vectorielle/D'Alembertien

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D'Alembertien
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Chapitre no 8
Leçon : Analyse vectorielle
Chap. préc. :Théorèmes d'analyse vectorielle
Chap. suiv. :Analyse vectorielle complexe
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Analyse vectorielle/D'Alembertien
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

La généralisation de l'opérateur laplacien à quatre dimensions, sur un espace de Minkowski, amène naturellement à la formulation de l'opérateur d'Alembertien :


De même que pour le laplacien, on peut définir l'opérateur d'Alembertien vectoriel qui applique le d'Alembertien à chaque coordonnée d'un champ vectoriel.

Utilisations[modifier | modifier le wikicode]

L'opérateur d'Alembertien apparaît naturellement en théorie de la relativité, mais on peut remarquer qu'en électromagnétisme classique, les champs électrique et magnétique vérifient dans le vide :

  •  ;
  • .

La valeur de c dans le d'Alembertien est traditionnellement prise égale à la vitesse de la lumière dans le vide — mais il est tout à fait possible de la définir autrement selon le contexte. Par exemple, pour l'équation d'onde de d'Alembert, le déplacement transversal d'une corde y vérifie : avec, en notant T la tension et µ la masse linéique : .

Remarquons que les cas de champs scalaires ou vectoriels dont le d'Alembertien est nul admettent des solutions analytiques, sous la forme d'ondes se propageant à vitesse c.

Remarques[modifier | modifier le wikicode]

Le d'Alembertien est en fait une généralisation du laplacien aux espaces de Minkowski, ce qui explique son lien à la mécanique relativiste.