Analyse vectorielle/Vecteur formel « nabla »

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Introduction

Il est possible de regrouper tous les outils vectoriels abordés jusqu'ici sous un même cadre formel, qui facilite bien souvent leur mémorisation et leur utilisation. On introduit ainsi le vecteur formel nabla.

Définition

Le vecteur formel nabla est l'opérateur :

${\overrightarrow {\nabla }}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}$.

On retrouvera les expressions des autres outils vectoriels à partir de lui, mais il est important de garder à l'esprit qu'en toute rigueur, d'une part, son utilisation est un abus de notation et d’autre part elle n'a de sens qu'en coordonnées cartésiennes et en dimension 3. Néanmoins, on l'utilise pour des raisons de simplicité bien au-delà de ce seul cadre, mais il faudra se rappeler qu’il ne s'agit alors que d'un moyen mnémotechnique.

Gradient, divergence, rotationnel

Soit $\scriptstyle {\vec {M}}$ un champ vectoriel, soit $N$ un champ scalaire.

• ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,N={\overrightarrow {\nabla }}N$
• $\mathrm {div} \,{\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {M}}$
• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {M}}$

En dimension 3, où ces notations ont un sens, elles sont cohérentes avec quelques propriétés, par exemple le fait qu'un produit vectoriel est orthogonal à ses deux arguments.

Laplacien

Le laplacien est défini comme la divergence du gradient. Soit $N$ un champ scalaire : $\Delta N=\mathrm {div} \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,N\right)={\overrightarrow {\nabla }}\cdot \left({\overrightarrow {\nabla }}N\right)={\overrightarrow {\nabla }}^{2}N$

Exemple

Les équations de Maxwell s'écrivent, dans le vide :

• $\mathrm {div} \,{\overrightarrow {E}}=0\ \Longleftrightarrow \ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {E}}=0$ ;
• $\mathrm {div} \,{\overrightarrow {B}}=0\ \Longleftrightarrow \ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {B}}=0$ ;

• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {E}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {B}}}{\partial t}}\ \Longleftrightarrow \ {\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {E}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {B}}}{\partial t}}$ ;

• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}\ \Longleftrightarrow \ {\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}$.