Leçons de niveau 14

Analyse vectorielle/Vecteur formel « nabla »

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Vecteur formel « nabla »
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Chapitre no 6
Leçon : Analyse vectorielle
Chap. préc. :Laplacien
Chap. suiv. :Théorèmes d'analyse vectorielle
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Analyse vectorielle/Vecteur formel « nabla »
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de regrouper tous les outils vectoriels abordés jusqu'ici sous un même cadre formel, qui facilite bien souvent leur mémorisation et leur utilisation. On introduit ainsi le vecteur formel nabla.


On retrouvera les expressions des autres outils vectoriels à partir de lui, mais il est important de garder à l'esprit qu'en toute rigueur, d'une part, son utilisation est un abus de notation et d’autre part elle n'a de sens qu'en coordonnées cartésiennes et en dimension 3. Néanmoins, on l'utilise pour des raisons de simplicité bien au-delà de ce seul cadre, mais il faudra se rappeler qu’il ne s'agit alors que d'un moyen mnémotechnique.

Gradient, divergence, rotationnel[modifier | modifier le wikicode]

Soit un champ vectoriel, soit un champ scalaire.

En dimension 3, où ces notations ont un sens, on retrouve quelques propriétés, concernant par exemple le fait qu'un produit vectoriel est orthogonal à ses deux arguments.

Laplacien[modifier | modifier le wikicode]

Le laplacien est défini comme la divergence du gradient. Soit un champ scalaire :

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Les équations de Maxwell s'écrivent, dans le vide :

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  •  ;
  • .