Algèbre sur un corps

Département

Algèbre

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Définition

Soient $K$ un corps et $A$ un ensemble muni de trois lois, $+,\ast :A\times A\to A$ et $\cdot :K\times A\to A$ .

$A$ est une $K$ -algèbre (associative) signifie :

$(A,+,\ast )$ est un anneau ;
$(A,+,\cdot )$ est un $K$ -espace vectoriel ;
de plus, $\forall \lambda \in K\quad \forall (x,y)\in A^{2}\quad \lambda \cdot \left(x\ast y\right)=\left(\lambda \cdot x\right)\ast y=x\ast \left(\lambda \cdot y\right)$ .

Ou encore : $(A,+,\cdot )$ est un $K$ -espace vectoriel et $\ast$ est bilinéaire et associative.

Exemples de K-algèbres

$K\left[X\right]$ (algèbre des polynômes) ;
${\mathcal {M}}_{n}\left(K\right)$ (algèbre (non commutative) des matrices carrées d'ordre $n$ ) ;
$\operatorname {L} \left(E\right)$ (algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ ).

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