Algèbre linéaire et calcul matriciel/Exercices/Formes linéaires et hyperplans

Exercice 1-1

Dans chacun des cas suivants, dire si l'ensemble $F$ est un hyperplan du $K$-espace vectoriel $E$ :

1. $n\in \mathbb {N} ,\quad E=K_{n}[X],\quad F=\left\{P\in E\mid P(3)=0\right\}$ ;
2. $n\in \mathbb {N} ^{*},\quad E=K_{n}[X],\quad F=K_{n-1}[X]$ ;
3. $K=\mathbb {R} ,\quad E=\mathbb {C} ^{2},\quad F=\left\{(u,v)\in \mathbb {C} ^{2}\mid {\overline {u}}=2v\right\}$ ;
4. $K=\mathbb {C} ,\quad E=\mathbb {C} ^{2},\quad F=\left\{(u,v)\in \mathbb {C} ^{2}\mid {\overline {u}}=2v\right\}$ ;
5. $E=\mathrm {M} _{n}(K),\quad F=\left\{M\in E\mid \operatorname {Tr} (M)=1\right\}$ ;
6. $K=\mathbb {R} ,\quad E=C([0,1],\mathbb {R} ),\quad F=\left\{f\in E\;\left|\;\int _{0}^{1}f=0\right.\right\}$ ;
7. $u\in E\setminus \{0\},\quad F=\operatorname {Vect} (u)$.

Solution

1. Oui car $P\mapsto P(3)$ est une forme linéaire non nulle.
2. Oui car $F$, espace vectoriel de dimension $n$, est un sous-espace de $E$, et ce dernier est de dimension $n+1$.
3. Non car sur $\mathbb {R}$, $F$ (défini par une équation complexe donc deux équations réelles) est de codimension 2.
4. Non car sur $\mathbb {C}$, $F$ n'est même pas un sous-espace vectoriel : $(2\mathrm {i} ,-\mathrm {i} )\in F$ mais $\mathrm {i} (2\mathrm {i} ,-\mathrm {i} )\notin F$.
5. Non car $F$ n'est même pas un sous-espace vectoriel : il ne contient pas $0$ (la matrice nulle de $\mathrm {M} _{n}(K)$).
6. Oui car $f\mapsto \int _{0}^{1}f$ est une forme linéaire non nulle.
7. Seulement si $\dim(E)=2$.

 

Exercice 1-2

Soit $F=\left\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}\mid x+y-z-t=0\right\}$.

1. Justifier que $F$ est un hyperplan de $\mathbb {R} ^{4}$. En déduire sa dimension.
2. En donner une base.
3. Donner toutes ses équations.
4. Donner tous ses supplémentaires dans $\mathbb {R} ^{4}$.

Solution

1. $F$ est (de par sa définition) le noyau d'une forme linéaire non nulle sur $\mathbb {R} ^{4}$ donc c'est un hyperplan, c'est-à-dire un sous-espace vectoriel de codimension $1$. Sa dimension est par conséquent $4-1=3$.
2. $F=\left\{(x,y,z,x+y-z)\mid (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\right\}=\operatorname {Vect} \left((1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)\right)$. Puisque ces 3 vecteurs engendrent $F$ qui est de dimension 3, ils forment une base de $F$.
3. $F$ a pour équation n'importe quel multiple de celle donnée au départ : $kx+ky-kz-kt=0$, pour $k\in \mathbb {R} ^{*}$ (mais la question est mal posée car $F$ a bien d'autres équations, par exemple $\exp(x+y-z-t)=1$, ou encore $(x+y-z-t)^{2}+(x+y-z-t)^{4}=0$).
4. Les supplémentaires de $F$ sont les droites vectorielles non incluses dans $F$ : $\operatorname {Vect} \left((a,b,c,d)\right)$ avec $a+b-c-d\neq 0$.

 

Mêmes questions en remplaçant $\mathbb {R} ^{4}$ par $\mathbb {R} _{2}[X]$ et $F$ par $G=\left\{P\in \mathbb {R} _{2}[X]\mid P(1)+P'(0)=0\right\}$.

Solution

1. Même justification pour « $G$ est un hyperplan » que précédemment pour $F$ (l'application $P\mapsto P(1)+P'(0)$ — évidemment non constamment nulle — est bien une forme linéaire car $P\mapsto P(1)$ et $P\mapsto P'(0)$ le sont ; la seconde l'est comme composée de l'application linéaire $P\mapsto P'$ et de la forme linéaire $Q\mapsto Q(0)$). Donc $\dim G=\dim \mathbb {R} _{2}[X]-1=3-1=2$.
2. Si $P=aX^{2}+bX+c$ alors $P(1)+P'(0)=a+2b+c$. Donc $G=\left\{aX^{2}+bX-a-2b\mid (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}=\operatorname {Vect} \left(X^{2}-1,X-2\right)$. Par le même raisonnement que pour $F$, ces deux polynômes forment une base de $G$.
3. Avec les mêmes notations que dans la question précédente, « les » équations de $G$ (mais voir la contestation précédente pour $F$) sont $ka+2kb+kc=0$, pour $k\in \mathbb {R} ^{*}$.
4. Les supplémentaires de $G$ sont les droites $\operatorname {Vect} \left(aX^{2}+bX+c\right)$ avec $a+2b+c\neq 0$.

 

Exercice 1-3

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $H_{1},\dots ,H_{p}$ des hyperplans de $E$. On note $H=H_{1}\cap \dots \cap H_{p}$. Montrer que $\dim H\geq n-p$.

Solution

Soient $f_{1},\dots ,f_{p}$ des formes linéaires sur $E$ de noyaux respectifs $H_{1},\dots ,H_{p}$. Alors, $H$ est le noyau de l'application $f=(f_{1},\dots ,f_{p}):E\mapsto K^{p}$ donc d'après le théorème du rang, $n=\dim(H)+\dim(\operatorname {Im} f)\leq \dim(H)+p$.

On peut aussi procéder par récurrence, en remarquant que $H$ est soit égal à $G:=H_{1}\cap \dots \cap H_{p-1}$ soit un hyperplan de $G$, selon que la forme linéaire dont $H_{p}$ est le noyau est nulle ou pas sur $G$.

 

En déduire que si $K=\mathbb {R}$ et si $(x,y)\mapsto \sum _{i=1}^{r}\psi _{i}(x)\psi _{i}(y)$ est un produit scalaire sur $E$, alors la famille de formes linéaires $(\psi _{1},\dots ,\psi _{r})$ engendre l'espace $E^{*}$ des formes linéaires sur $E$.

Solution

La formule

$\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}(x)\psi _{i}(y)$

définit une forme bilinéaire symétrique, telle que $\langle x,x\rangle$ est positif pour tout $x$. Si l'on suppose que c'est un produit scalaire, alors pour tout $x$ non nul, $\langle x,x\rangle$ est strictement positif, donc l'un des termes $\psi _{i}(x)$ est non nul. Tout vecteur non nul est en dehors du noyau d'au moins un des $\psi _{i}$. Ainsi, l'intersection $U$ des noyaux des $\psi _{i}$ est réduite au vecteur nul. Supposons que le sous-espace $V$ de $E^{*}$ engendré par la famille $(\psi _{i})$ soit de dimension $s$ (avec donc $s\leq n$). Alors, l'intersection $U$ est encore égale à l'intersection des noyaux d'une base de $V$ (vérifiez !), c'est-à-dire à l'intersection des noyaux de $s$ formes linéaires. On invoque pour conclure le fait général, démontré ci-dessus : l'intersection des noyaux de $s$ formes linéaires est de dimension au moins $n-s$. Puisque $U$ est de dimension $0$, cela donne $0\geq n-s$ et donc $s\geq n$, puis $s=n$, soit encore $V=E^{*}$.