En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Devoir : Matrice hermitienne Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice réelle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Montrer que si avec orthogonale et symétrique positive, alors .
Si (donc aussi ) est inversible, montrer que la matrice est orthogonale (ce qui conclut dans ce cas).
En déduire (par densité) la conclusion voulue sans supposer inversible.
Retrouver ce cas général en construisant directement (sans passer par le cas particulier inversible) une matrice orthogonale telle que .
Corrigé
est clairement symétrique, et pour toute matrice colonne , .
Si avec orthogonale et symétrique, alors , donc si de plus est positive alors (par unicité de la racine carrée symétrique positive) .
.
Soit une suite de matrices inversibles convergeant vers , et leurs décompositions polaires. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut supposer (quitte à extraire une sous-suite) que converge. La limite est alors orthogonale (par continuité de l'application ), et la limite des est symétrique positive (par continuité des applications et, pour toute matrice colonne , ).
(On identifie ici tout endomorphisme de avec sa matrice dans la base canonique.) donc pour tout vecteur , (en particulier et ont même noyau). Par conséquent, il existe un isomorphisme isométrique tel que pour tout , . Par somme directe avec un isomorphisme isométrique arbitraire entre les orthogonaux de et , on obtient la matrice voulue.
Autre point de vue et quelques compléments
Soit un espace euclidien de dimension . Soient des endomorphismes de dont les matrices respectives, dans une certaine base orthonormée, sont les matrices ci-dessus.
Vérifier que et . En déduire que .
En déduire qu'il existe une base orthonormée de telle que .
On suppose dans cette question que est bijectif (donc aussi d'après 1).
Déduire de la question 2 une expression de en fonction de .
Application : soit . Calculer les deux matrices et .
On ne suppose plus que est bijectif, et l'on ordonne la base de la question 2 de telle sorte que soient non nuls et soient nuls.
Comment faut-il choisir pour définir un endomorphisme orthogonal tel que ? Un tel est-il unique ?
Application : soit . Trouver deux matrices symétrique et orthogonale telles que .
Solution
, en particulier , donc .
Soit une base orthonormée de propre pour , avec .
(d'après les questions 1 et 2 de l'exercice mentionné, puisque et sont diagonalisables et ont mêmes sous-espaces propres) (en composant à droite par ) .
.
donc et .
On veut que les forment une base orthonormée (pour que soit orthogonal) et vérifient c'est-à-dire . Il faut donc prendre donnés par cette formule, et choisir de telle sorte que soit une base orthonormée (ceci généralise le cas de la question 3, mais pour le choix n'est évidemment pas unique).
a pour noyau (comme ) le plan d'équation , c'est-à-dire le plan avec . Par conséquent, la droite doit être elle aussi stable par , c'est-à-dire doit être propre pour . Effectivement, le calcul donne . Donc est la matrice qui envoie sur (comme ) et telle que , d'où . Pour on a . On cherche donc orthogonale telle que . La méthode générale serait de choisir une base orthonormée de puis de choisir tels que soit une base orthonormée et de déterminer telle que . Mais en remarquant que n'est autre que le symétrique orthogonal de par rapport au plan , on peut choisir simplement pour cette symétrie : .