Leçons de niveau 15

Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice réelle

Une page de Wikiversité.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Matrice hermitienne
Image logo représentative de la faculté
Devoir no1
Cours : Algèbre linéaire

Devoir de niveau 15.


Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Devoir : Matrice hermitienne
Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice réelle
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Décomposition polaire d'une matrice réelle

Soit . L'objet de ce devoir est de décomposer en produit d'une matrice orthogonale (unique si est inversible) et d'une matrice (symétrique) positive (toujours unique, et inversible si l'est).

  1. Montrer que est symétrique et positive.
    Elle admet donc une unique racine carrée symétrique positive, que l'on notera .
  2. Montrer que si avec orthogonale et symétrique positive, alors .
  3. Si (donc aussi ) est inversible, montrer que la matrice est orthogonale (ce qui conclut dans ce cas).
  4. En déduire (par densité) la conclusion voulue sans supposer inversible.
  5. Retrouver ce cas général en construisant directement (sans passer par le cas particulier inversible) une matrice orthogonale telle que .