En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Examen : Baccalauréat série S Mathématiques en terminale générale/Examen/Bac S math France 2007 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Comme toute démonstration où l'énoncé n'introduit pas explicitement les éléments à manipuler, il faut commencer par présenter les éléments de travail par Soient et …
Avant d'intégrer une relation, il faut bien écrire qu'elle est valable sur tout l'intervalle sur lequel on va intégrer : pour tout .
Bien sûr, ne pas oublier de conclure.
Question 2
a
On va intégrer par parties de deux façons.
On choisit d'abord de poser sur l'intervalle les fonctions et telles que :
, de primitive (par exemple) ;
, de dérivée .
Les fonctions et sont bien dérivables à dérivée continue sur l'intervalle . On peut donc appliquer la formule d'intégration par parties :
Point à ne pas omettre avant le calcul
Dans cette démonstration, le point-clé est l’application de la formule d'intégration par parties. Il faut bien expliciter l'hypothèse-phare de ce théorème avant de dérouler les calculs, à savoir :
Les fonctions et doivent être dérivables à dérivée continue sur l'intervalle d'intégration.
De même, en posant :
, de primitive (par exemple) ;
, de dérivée ,
on obtient :
b
donc et .
Exercice 5
Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe C
Question 1
Soient définies par
et .
Alors (pour tout )
et donc
Question 2
est strictement croissante sur ;
est strictement croissante sur ;
La somme de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante.
Donc est strictement croissante sur .
.
Par conséquent, est strictement négative sur et strictement positive sur . Puisque est du même signe, on en déduit le tableaux de variations suivant pour :
Question 3
Soit .
L'unique point d'intersection de et est donc l'origine du repère : .
Partie B : Étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction f
Question 1
est croissante sur donc
.
Question 2
a
b
Montrons par récurrence que pour tout , .
Initialisation : .
Hérédité : soit tel que . Alors, d'après la question B.1, .
Le principe de récurrence permet de conclure.
c
Pour tout , car .
La suite est donc décroissante.
d
Puisque est décroissante et minorée (par ), elle converge.
e
Puisque la suite est récurrente de la forme avec continue,