Mathématiques en terminale générale/Examen/Bac S math France 2007

Sujet

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Corrigé des exercices 1, 2 et 5

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Exercice 1

Voir Produit scalaire dans l'espace/Exercices/Exercices#Exercice 2.

Exercice 2

Question 1

Voir Intégration de Riemann/Intégrale et primitives#Intégration par parties.

Points importants de la démonstration

• Comme toute démonstration où l'énoncé n'introduit pas explicitement les éléments à manipuler, il faut commencer par présenter les éléments de travail par Soient $u$ et $v$…
• Avant d'intégrer une relation, il faut bien écrire qu'elle est valable sur tout l'intervalle sur lequel on va intégrer :
  pour tout $t\in [a,b],~(uv)'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)$.
• Bien sûr, ne pas oublier de conclure.

Question 2

a

On va intégrer $I$ par parties de deux façons.

On choisit d'abord de poser sur l'intervalle $[0,\pi ]$ les fonctions $u$ et $v$ telles que :

• $u':=\exp$, de primitive (par exemple) $u:=\exp$ ;
• $v:=\sin$, de dérivée $v'=\cos$.

Les fonctions $u$ et $v$ sont bien dérivables à dérivée continue sur l'intervalle $[0,\pi ]$. On peut donc appliquer la formule d'intégration par parties :

${\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\pi }u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=[uv]_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x\\&=u(\pi )\times 0-u(0)\times 0-\int _{0}^{\pi }\operatorname {e} ^{x}\cos x\,\mathrm {d} x\\&=-J.\end{aligned}}$

Point à ne pas omettre avant le calcul

Dans cette démonstration, le point-clé est l’application de la formule d'intégration par parties. Il faut bien expliciter l'hypothèse-phare de ce théorème avant de dérouler les calculs, à savoir :

Les fonctions $u$ et $v$ doivent être dérivables à dérivée continue sur l'intervalle d'intégration.

De même, en posant :

• $u':=\sin$, de primitive (par exemple) $u:=-\cos$ ;
• $v:=\exp$, de dérivée $v'=\exp$,

on obtient :

${\begin{aligned}I&=-\cos \pi \times \operatorname {e} ^{\pi }-(-\cos 0)\times \operatorname {e} ^{0}-\int _{0}^{\pi }\operatorname {e} ^{x}(-\cos x)\,\mathrm {d} x\\&=\operatorname {e} ^{\pi }+1+J.\end{aligned}}$

b

$-J=I=\operatorname {e} ^{\pi }+1+J$ donc $J=-{\frac {e^{\pi }+1}{2}}$ et $I={\frac {e^{\pi }+1}{2}}$.

Exercice 5

Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe C

Question 1

Soient $u,v:\left]-1,+\infty \right[\to \mathbb {R}$ définies par

$v(x)=1+x$ et $u=\ln v$.

Alors (pour tout $x>-1$)

$v'(x)=1$ et $u'(x)={\frac {v'(x)}{v(x)}}={\frac {1}{1+x}}$ donc

${\begin{aligned}f'(x)&=1-{\frac {{\frac {1}{1+x}}(1+x)-\ln(1+x)}{(1+x)^{2}}}\\&={\frac {(1+x)^{2}-1+\ln(1+x)}{(1+x)^{2}}}.\end{aligned}}$

Question 2

• $x\mapsto (1+x)^{2}$ est strictement croissante sur $\left]-1,+\infty \right[$ ;
• $x\mapsto \ln(1+x)$ est strictement croissante sur $\left]-1,+\infty \right[$ ;
• La somme de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante.

Donc $N$ est strictement croissante sur $\left]-1,+\infty \right[$.

$N(0)=1^{2}-1+\ln(1)=0$.

Par conséquent, $N$ est strictement négative sur $\left]-1,0\right[$ et strictement positive sur $\left]0,+\infty \right[$. Puisque $f'(x)={\frac {N(x)}{(1+x)^{2}}}$ est du même signe, on en déduit le tableaux de variations suivant pour $f$ :

${\begin{array}{c||cccccc|}x&-1&&&0&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f'(x)&\|&&-&0&+&\\\hline &\|&+\infty &&&&+\infty \\f(x)&\|&&\searrow &&\nearrow &\\&\|&&&0&&&\\\hline \end{array}}$

Question 3

Soit $x\in \left]-1,+\infty \right[$.

${\begin{aligned}f(x)=x&\Leftrightarrow x-{\frac {\ln(1+x)}{1+x}}=x\\&\Leftrightarrow {\frac {\ln(1+x)}{1+x}}=0\\&\Leftrightarrow \ln(1+x)=0\\&\Leftrightarrow 1+x=1\\&\Leftrightarrow x=0.\end{aligned}}$

L'unique point d'intersection de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$ est donc l'origine du repère : $O(0,0)$.

Partie B : Étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction f

Question 1

$f$ est croissante sur $\left[0,+\infty \right[$ donc

$0\leq x\leq 4\Rightarrow f(0)\leq f(x)\leq f(4)\Rightarrow 0\leq f(x)\leq 4-{\frac {\ln 5}{5}}\Rightarrow 0\leq f(x)<4$.

Question 2

a

b

Montrons par récurrence que pour tout $n\in \mathbb {N}$, $u_{n}\in \left[0,4\right]$.

• Initialisation : $u_{0}=4\in \left[0,4\right]$.
• Hérédité : soit $n\in \mathbb {N}$ tel que $u_{n}\in \left[0,4\right]$. Alors, d'après la question B.1, $u_{n+1}=f(u_{n})\in \left[0,4\right]$.

Le principe de récurrence permet de conclure.

c

Pour tout $n\in \mathbb {N}$, $u_{n+1}-u_{n}=f(u_{n})-u_{n}=-{\frac {\ln(1+u_{n})}{1+u_{n}}}\leq 0$ car $u_{n}\geq 0$.

La suite $(u_{n})$ est donc décroissante.

d

Puisque $(u_{n})$ est décroissante et minorée (par $0$), elle converge.

e

Puisque la suite est récurrente de la forme $u_{n+1}=f(u_{n})$ avec $f:\left[0,4\right]\to \left[0,4\right]$ continue,

sa limite est un réel $\ell \in \left[0,4\right]$ tel que $f(\ell )=\ell$,

c'est-à-dire (d'après la question A.3) : $\ell =0$.