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Exercice : Changement de variable facile
Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable facile », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les changements de variable présentés dans cette page demandent une légère réflexion.
Exercice 2-1
Calculer :
.
Solution
D'après les règles de Bioche, nous devrions poser y = sin(x). Pour mettre ce changement de variable en évidence nous remarquons que :
.
Posons :
et donc :
Nous pouvons conclure que :
.
|
Exercice 2-2
Démontrer que l'aire d'un disque de rayon
est égale à
.
Exercice 2-3
Calculer
.
Solution
Posons :
.
On a donc :
Nous pouvons conclure que :
.
|
Calculer une primitive (sur
) de la fonction
.
Exercice 2-4
Calculer :
.
Solution
Posons :
et donc :
Nous pouvons conclure que :
.
|
Exercice 2-5
Calculer :
.
Solution
Posons :
.
On a donc :
Posons ensuite :
.
Nous pouvons conclure que :
.
|
Exercice 2-6
Calculer
.
Calculer
.
Solution
En posant
, on trouve :
.
Exercice 2-7
Calculer
.
Solution
![{\displaystyle \omega (\pi +t)={\frac {1}{(\cos ^{2}(\pi +t))(1+\tan(\pi +t))}}\,\mathrm {d} (\pi +t)={\frac {1}{(\cos ^{2}(t))(1+\tan(t))}}\,\mathrm {d} t=\omega (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e0b4d18a0d365ead758aa4fb473ccf91a3cc0d)
Ceci car
et
et
.
Alors d'après la règle de Bioche, le changement de variable le plus approprié est
.
Une fois le changement de variable effectué, ces deux intégrales peuvent être calculées plus facilement car elles comportent des fonctions que l'on sait intégrer.
Exercice 2-8
Calculer
, pour
.
Solution
Aucune des trois règles de Bioche ne s'applique. Dans cette situation, on peut utiliser, comme indiqué dans le chapitre correspondant, le changement de variable u = tan(t/2), ce qui mène à
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} t}{1+\beta \cos t}}=\int {\frac {\frac {2\,\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}{1+\beta {\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}}}=\int {\frac {2\,\mathrm {d} u}{(1+\beta )+(1-\beta )u^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08108603a5f7de635a45cf27b438f059b0c5220)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\text{si }}\beta =1:&u+C=\tan(t/2)+C\\{\text{si }}\beta =-1:&-{\frac {1}{u}}+C=-\cot(t/2)+C\\{\text{si }}0<|\beta |<1:&{\frac {2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,u\right)+C={\frac {2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}{\frac {\sin t}{1+\cos t}}\right)+C.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602779d3c850b8ba0782efacf698cc59f7c63f84)
Exercice 2-9
Donner une primitive de
.
Exercice 2-10
Calculer des primitives de :
;
.
Solution
- Posons (d'après les règles de Bioche)
. Ainsi,
.
On peut aussi reconnaître en
la dérivée de la fonction artanh, ce qui donne immédiatement :
.
On peut donner d'autres expressions de la primitive obtenue :
;
.
Une variante est d'appliquer, au lieu des règles de Bioche, le changement de variable général
. Ainsi, on retrouve directement
.
- Posons (d'après les règles de Bioche)
. Ainsi,
.
On peut donner d'autres expressions de la primitive obtenue :
.
Une variante est d'appliquer, au lieu des règles de Bioche, le changement de variable général
. Ainsi,
(d'après l'identité trigonométrique
).
On peut aussi déduire les réponses à cette question de celles de la question précédente, puisque
.