Trigonométrie/Tangente dans un triangle rectangle

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Tangente et calculatrice

Calcul d’une tangente à la calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer sa tangente avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, on tape pour calculer :

$\tan {45^{\circ }}$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
tan	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$\tan {45}=1$

Si vous obtenez 1,619850 ou 0,854, votre calculatrice n’est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

Calcul d’un angle à partir de sa tangente

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\tan {(?)}=0,5$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	tan	0	$\cdot$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :

$\tan {(?)}=0,5$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$tan^{-1}(0,5)\approx 27^{\circ }$

Formule de la tangente

Dans un triangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle $\scriptstyle {\hat {A}}$ vaut :

$\tan {\hat {A}}={\frac {BC}{AB}}={c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ oppos{\acute {e}} \over c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ adjacent}$

Exemple 1 : Calcul d’un angle à partir du côté opposé et de son côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = 4 cm et AB = 5 cm. Calculer ${\hat {A}}$

Solution

On a la formule : $\tan {\hat {A}}={\frac {BC}{AB}}={\frac {4}{5}}=0,800$

et : ${\hat {A}}=tan^{-1}(0,800)\approx 39^{\circ }$

 

Remarques :

1. Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour la tangente.
2. La notation $\tan ^{-1}$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrices du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : ${\frac {1}{\tan }}$. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation $\scriptstyle {\operatorname {arctan} }$.

Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et du côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : $\scriptstyle {{\hat {A}}=40^{\circ }}$ et $AB=5cm$. Calculer $BC$

Solution

On a la formule :

$\tan {\hat {A}}=\tan {40}={\frac {BC}{AB}}={\frac {BC}{5}}$

donc :

$BC=5\times \tan {40}\approx 4,2\ cm$

 

Exemple 3 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et du côté opposé

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : $\scriptstyle {{\hat {A}}=40^{\circ }}$ et $BC=4cm$. Calculer $AB$

Solution

On a la formule :

$\tan {\hat {A}}=\tan {40}={\frac {BC}{AB}}={\frac {4}{AB}}$

donc : $AB\times \tan {40}=4$

donc : $AB={\frac {4}{\tan {40}}}\approx 4,8\ cm$