Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Équations sans second membre

Résoudre sur $\mathbb {R}$ les équations suivantes :

1. $y''+2y'-3y=0$

2. $9y''-6y'+y=0$

3. $4y''+4y'+y=0$

4. $9y''+1=0$

5. $9y''-6y'=0$

Solution

1. L'équation est sous forme normale.

Équation caractéristique :

$r^{2}+2r-3=0\Leftrightarrow (r-1)(r+3)=0$ (en voyant que 1 est solution évidente)

$\Leftrightarrow r=1$ ou $r=-3$.

Donc $y=\lambda \,e^{x}+\mu \,e^{-3x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

2. Mettons l'équation sous forme normale : $y''-{\frac {2}{3}}\,y'+{\frac {1}{9}}\,y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-{\frac {2}{3}}\,r+{\frac {1}{9}}=0\Leftrightarrow \left(r-{\frac {1}{3}}\right)^{2}=0$ (on reconnait un carré parfait)

$\Leftrightarrow r={\frac {1}{3}}$ (solution double).

Donc $y=\left(\lambda \,x+\mu \right)\,e^{\frac {x}{3}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

3. Mettons l'équation sous forme normale : $y''+y'+{\frac {1}{4}}\,y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}+r+{\frac {1}{4}}=0\Leftrightarrow \left(r+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=0$ (on reconnait un carré parfait)

$\Leftrightarrow r=-{\frac {1}{2}}$ (solution double).

Donc $y=\left(\lambda \,x+\mu \right)\,e^{-{\frac {x}{2}}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

4. Mettons l'équation sous forme normale : $y''+{\frac {1}{9}}=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}+{\frac {1}{9}}=0\Leftrightarrow r=\pm {\frac {i}{3}}$.

Donc $y=\lambda \,\cos {\frac {x}{3}}+\mu \,\sin {\frac {x}{3}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

5. Mettons l'équation sous forme normale : $y''-{\frac {2}{3}}\,y'=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-{\frac {2}{3}}r=0\Leftrightarrow r\left(r-{\frac {2}{3}}\right)=0$

$\Leftrightarrow r=0$ ou $r={\frac {2}{3}}$.

Donc $y=\lambda +\mu \,e^{{\frac {2}{3}}x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

 

Équations avec second membre

1. $y''-2y'-3y=5$
2. $y''+6y'+10y=4$
3. $y''-4y=t+1$
4. $y''-y=5x+2$
5. $y''-2y'+y=t^{2}-t+1$
6. $y''+y'-2y=t-1$.

Solution

Les équations sont sous forme normale.

1.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-2y'-3y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-2r-3=0\Leftrightarrow (r+1)(r-3)=0\Leftrightarrow r=-1$ ou $r=3$.

Donc $y=\lambda \,e^{-x}+\mu \,e^{3x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-2y'-3y=5$.

$y=-{\frac {5}{3}}$ est solution constante évidente.

Donc $y=\lambda \,e^{-x}+\mu \,e^{3x}-{\frac {5}{3}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

2.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+6y'+10y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}+6r+10=0\Leftrightarrow r=-3+i$ ou $r=-3-i$.

Donc $y=e^{-3x}\left(\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x\right),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+6y'+10y=4$

$y={\frac {4}{10}}$ est solution constante évidente.

Donc $y=e^{-3x}\left(\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x\right)+{\frac {4}{10}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

3.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-4y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}-4=0\Leftrightarrow r=\pm 2$

Donc $y=\lambda \,e^{2x}+\mu \,e^{-2x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-4y=t+1$.

$y=-{\frac {t+1}{4}}$ est solution évidente.

Donc $y=\lambda \,e^{2x}+\mu \,e^{-2x}-{\frac {x+1}{4}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

4.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-1=0\Leftrightarrow r=\pm 1$.

Donc $y=\lambda \,e^{x}+\mu \,e^{-x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-y=5x+2$

$y=-(5x+2)$ est solution évidente.

Donc $y=\lambda \,e^{x}+\mu \,e^{-x}-5x-2,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

5.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-2y'+y=0$.

Équation caractéristique :

$r^{2}-2r+1=0\Leftrightarrow \left(r-1\right)^{2}=0$ (on reconnait un carré parfait)

$\Leftrightarrow r=1$ (solution double).

Donc $y=\left(\lambda \,t+\mu \right)\,e^{t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-2y'+y=t^{2}-t+1$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_{1}=at^{2}+bt+c$

$y_{1}'=2at+b$

$y_{1}''=2a$

Donc $y_{1}''-2y_{1}'+y_{1}=t^{2}-t+1\Leftrightarrow (2a)+(-4at-2b)+(at^{2}+bt+c)=t^{2}-t+1$

$\Leftrightarrow at^{2}+(b-4a)t+(2a-2b+c)=t^{2}-t+1$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b-4a=-1\\2a-2b+c=1\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=3\\c=5\end{cases}}$

Une solution particulière est donc $y_{1}=t^{2}+3t+5$.

Donc $y=\left(\lambda \,t+\mu \right)e^{t}+t^{2}+3t+5,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

6.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+y'-2y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}+r-2=0\Leftrightarrow (r-1)(r+2)=0$ (en voyant que 1 est solution évidente)

$\Leftrightarrow r=1$ ou $r=-2$.

Donc $y=\lambda \,e^{t}+\mu \,e^{-2t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+y'-2y=t-1$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_{1}=at+b$

$y_{1}'=a$:$y_{1}''=0$

Donc $y''+y'-2y=t-1\Leftrightarrow 0+a-2at-2b=t-1$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}-2a=1\\a-2b=-1\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}a=-{\frac {1}{2}}\\b={\frac {1}{4}}.\end{cases}}$

Une solution particulière est donc $y_{1}=-{\frac {1}{2}}t+{\frac {1}{4}}$.

Donc $y=\lambda \,e^{t}+\mu \,e^{-2t}-{\frac {1}{2}}t+{\frac {1}{4}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

 

Avec conditions initiales

Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant les conditions initiales données.

1. $y''+4y'-5y=10,\;y(0)=4,\;y'(0)=0$ ;
2. $y''+4y'+5y=10x-2,\;f(0)=1,\;y'(0)=1$ ;
3. $2y''-5y'-3y=-3t^{2}-10t+4,\;y(0)=0,\;y'(0)=-1$.
4. $y''+\omega ^{2}y=\sin(\omega 't),\;y(0)=y'(0)=0$, pour $\omega ,\omega '>0$ ;
5. $my''+\varepsilon y'+ky=-mg,\;y(0)=y_{0},\;y'(0)=0$, pour $k,m,g>0$ et $0<\varepsilon <2{\sqrt {km}}$, et déterminer $\lim _{+\infty }y$.

Solution

1. L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'-5y=0$.

  Équation caractéristique :

  $r^{2}+4r-5=0\Leftrightarrow (r-1)(r+5)=0$ (en voyant que 1 est solution évidente par exemple)

  $\Leftrightarrow r=1$ ou $r=-5$.

  Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{-5t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+4y'-5y=10$

  $y=-2$ est solution constante évidente.

  Donc $y$ est de la forme $y=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{-5t}-2,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :

  ${\begin{cases}y(0)=4\\y'(0)=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda +\mu -2=4\\\lambda -5\mu =0\end{cases}}$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}\mu =1\\\lambda =5\end{cases}}$

Donc $y=5\operatorname {e} ^{t}+\operatorname {e} ^{-5t}-2$.

2. L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'+5y=0$.

  Équation caractéristique :

  $r^{2}+4r+5=0\Leftrightarrow (r+2)^{2}+1=0$ (en reconnaissant le début d'un carré parfait)

  $\Leftrightarrow r=-2+i$ ou $r=-2-i$.

  Donc $y=\operatorname {e} ^{-2x}\left(\lambda \cos x+\mu \sin x\right),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+4y'+5y=10x-2$.

  On cherche une solution particulière sous la forme $y_{1}=ax+b$

  $y_{1}'=a$

  $y_{1}''=0$

  Donc $y_{1}''+4y_{1}'+5y_{1}=10x-2\Leftrightarrow 4a+5ax+5b=10x-2$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}5a=10\\4a+5b=-2\end{cases}}$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}a=2\\b=-2\end{cases}}$

  Une solution particulière est donc $y_{1}=2x-2$.

  Donc $y$ est de la forme $y=\operatorname {e} ^{-2x}\left(\lambda \cos x+\mu \sin x\right)+2(x-1),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :

  ${\begin{cases}y(0)=1\\y'(0)=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda -2=1\\-2\lambda +\mu +2=1\end{cases}}$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =3\\\mu =5\end{cases}}$

Donc $y=\operatorname {e} ^{-2x}\left(3\cos x+5\sin x\right)+2(x-1)$.

3. Mettons l'équation sous forme normale : $y''-{\frac {5}{2}}y'-{\frac {3}{2}}y={\frac {-3t^{2}}{2}}-5t+2$.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-{\frac {5}{2}}y'-{\frac {3}{2}}y=0$

  Équation caractéristique :

  $r^{2}-{\frac {5}{2}}r-{\frac {3}{2}}=0\Leftrightarrow (r-3)(r+{\frac {1}{2}})=0$ (en voyant que 3 est solution évidente par exemple)

  $\Leftrightarrow r=3$ ou $r=-{\frac {1}{2}}$.

  Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{3t}+\mu \operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-{\frac {5}{2}}y'-{\frac {3}{2}}y={\frac {-3t^{2}}{2}}-5t+2$

  $y_{1}=t^{2}$ est une solution particulière relativement évidente.

  Donc $y$ est de la forme $y=\lambda \operatorname {e} ^{3t}+\mu \operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t}+t^{2},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :

  ${\begin{cases}y(0)=0\\y'(0)=-1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda +\mu =0\\3\lambda -{\frac {1}{2}}\mu =-1\end{cases}}$

  $\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =-{\frac {2}{7}}\\\mu ={\frac {2}{7}}\end{cases}}$

Donc $y=-{\frac {2}{7}}\operatorname {e} ^{3t}+{\frac {2}{7}}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t}+t^{2}$.

4.

• Équation homogène associée : $y''+\omega ^{2}y=0$.

  Donc $y=\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :
  • Premier cas : si $\omega '\neq \omega$.

    Une fonction de la forme $y=a\cos(\omega 't)+b\sin(\omega 't)$ est solution si et seulement si $-a\omega '^{2}+\omega ^{2}=0$ et $-b\omega '^{2}+\omega ^{2}=1$.

    Donc $y$ est de la forme $y=\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)+{\frac {\omega ^{2}}{{\omega '}^{2}}}\cos(\omega 't)+{\frac {\omega ^{2}-1}{{\omega '}^{2}}}\sin(\omega 't),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

  • Second cas : si $\omega '=\omega$.

    Une fonction de la forme $y=at\cos(\omega t)+bt\sin(\omega t)$ est solution si et seulement si $2b\omega =0$ et $-2a\omega =1$.

    Donc $y$ est de la forme $y=\left(\lambda -{\frac {t}{2\omega }}\right)\cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :
  • Premier cas : si $\omega '\neq \omega$

    $\lambda +{\frac {\omega ^{2}}{{\omega '}^{2}}}=\omega \mu +{\frac {\omega ^{2}-1}{\omega '}}=0$.

    Donc $y={\frac {\omega ^{2}}{{\omega '}^{2}}}{\Bigl (}\cos(\omega 't)-\cos(\omega t){\Bigr )}+{\frac {\omega ^{2}-1}{{\omega '}^{2}}}\left(\sin(\omega 't)-{\frac {\omega '}{\omega }}\sin(\omega t)\right)$.

  • Second cas : si $\omega '=\omega$.

    $\lambda =-{\frac {1}{2\omega }}+\omega \mu =0$.

    Donc $y=-{\frac {t}{2\omega }}\cos(\omega t)+{\frac {1}{2\omega ^{2}}}\sin(\omega t)$.

5. Mettons l'équation sous forme normale : $y''+{\frac {\varepsilon }{m}}y'+{\frac {k}{m}}y=-g$.

• Équation homogène associée : $y''+{\frac {\varepsilon }{m}}y'+{\frac {k}{m}}y=0$

  donc $y=\operatorname {e} ^{-{\frac {\varepsilon }{2m}}t}\left(\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)\right),\,\omega :={\frac {\sqrt {4mk-\varepsilon ^{2}}}{2m}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

  une solution évidente est la fonction constante $y=-{\frac {mg}{k}}$.

  Donc $y$ est de la forme $y=\operatorname {e} ^{-{\frac {\varepsilon }{2m}}t}\left(\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)\right)-{\frac {mg}{k}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$, et $\lim _{+\infty }y=-{\frac {mg}{k}}$.

• Détermination de $\lambda$ et $\mu$ :

  ${\begin{cases}y(0)=y_{0}\\y'(0)=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda -{\frac {mg}{k}}=y_{0}\\-{\frac {\varepsilon }{2m}}\lambda +\mu \omega =0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =y_{0}+{\frac {mg}{k}}\\\mu ={\frac {\varepsilon \lambda }{2m\omega }}.\end{cases}}$

 

Problème

1. Résoudre l'équation différentielle :

   $y''+4y=0$.

2. Déterminer la solution particulière $f$ de la variable t vérifiant les conditions $f(0)=1$ et $f\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {3}}$.
3. Déterminer les réels $K>0$, $\omega >0$ et $\phi \in \left]-\pi ,\pi \right]$ tels que f(t) s'écrive :

   $f(t)=K\cos(\omega \,t-\phi )$.

4. Résoudre, dans $\mathbb {R}$, l'équation $f(t)=-{\sqrt {2}}$.

Solution

1. L'équation est sous forme normale et sans second membre.

Équation caractéristique : $r^{2}+4=0\Leftrightarrow r=\pm 2i$.

Donc $y=\lambda \,\cos(2t)+\mu \,\sin(2t),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

2. Détermination de $\lambda$ et de $\mu$ :

${\begin{cases}f(0)=1\\f\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {3}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =1\\\mu ={\sqrt {3}}.\end{cases}}$

Donc $f(t)=\cos(2t)+{\sqrt {3}}\,\sin(2t)$.

3. ${\sqrt {1^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}=2$ et $\arctan {\frac {\sqrt {3}}{1}}={\frac {\pi }{3}}$

donc $f(t)=\cos(2t)+{\sqrt {3}}\,\sin(2t)=2\cos \left(2t-{\frac {\pi }{3}}\right)$.

4. $f(t)=-{\sqrt {2}}\Leftrightarrow \cos \left(2t-{\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {-{\sqrt {2}}}{2}}$

$\Leftrightarrow 2t-{\frac {\pi }{3}}\equiv {\frac {3\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$ ou $2t-{\frac {\pi }{3}}\equiv -{\frac {3\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$

$\Leftrightarrow t\equiv {\frac {13\pi }{24}}{\bmod {\pi }}$ ou $t\equiv -{\frac {5\pi }{24}}{\bmod {\pi }}$.

Donc $S=\left\{{\frac {13\,\pi }{24}}+k\pi ,-{\frac {5\pi }{24}}+k\pi ,\,k\in \mathbb {R} \right\}$.

 

Problème avec conditions au bord

Soit $\lambda \in \mathbb {R}$. Résoudre le problème :

$u''+\lambda u=0,\quad u(0)=0,\quad u(\pi )=0$.

Solution

Les solutions de $u''+\lambda u=0$ sont :

• si $\lambda <0$ : $u(t)=A\mathrm {e} ^{t{\sqrt {-\lambda }}}+B\mathrm {e} ^{-t{\sqrt {-\lambda }}},\quad A,B\in \mathbb {R}$ ;
• si $\lambda =0$ : $u(t)=Ct+D,\quad C,D\in \mathbb {R}$ ;
• si $\lambda >0$ : $u(t)=E\cos \left(t{\sqrt {\lambda }}\right)+F\sin \left(t{\sqrt {\lambda }}\right),\quad E,F\in \mathbb {R}$.

Les deux conditions $u(0)=0,\quad u(\pi )=0$ sont alors équivalentes à :

• si $\lambda <0$ : $A=B=0$ ;
• si $\lambda =0$ : $C=D=0$ ;
• si $\lambda >0$ : $E=0,\quad F\sin \left(\pi {\sqrt {\lambda }}\right)=0$.

La seule solution est donc en général $u=0$, sauf lorsque $\lambda =n^{2}$ avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$, auquel cas les solutions sont $u(t)=F\sin \left(nt\right),\quad F\in \mathbb {R}$.

 

Avec des exponentielles

Résoudre :

1. $y''-3y'+2y=\operatorname {e} ^{-t}$ ;
2. $y''+3y'-4y=\operatorname {e} ^{2x}$ ;
3. $y''+2y'+y=2\operatorname {e} ^{-x}$ ;
4. $y''-y'+y=2x^{2}\operatorname {e} ^{-x}$.

Solution

1. L'équation homogène $z''-3z'+2z=0$ a pour solutions $z_{\lambda ,\mu }\left(t\right):=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{2t}$ avec $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est $y_{0}\left(t\right):={\frac {1}{6}}\operatorname {e} ^{-t}$. La solution générale est $y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }$.

2. L'équation homogène $z''+3z'-4z=0$ a pour solutions $z_{\lambda ,\mu }\left(x\right):=\lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-4x}$ avec $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est $y_{0}\left(t\right):={\frac {1}{6}}\operatorname {e} ^{2x}$. La solution générale est $y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }$.

3. L'équation homogène $z''+2z'+z=0$ a pour solutions $z_{\lambda ,\mu }\left(x\right):=\left(\lambda x+\mu \right)\operatorname {e} ^{-x}$ avec $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est $y_{0}\left(t\right):=x^{2}\operatorname {e} ^{-x}$. La solution générale est $y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }$.

4. L'équation homogène $z''+2z'+z=0$ a pour solutions $z_{\lambda ,\mu }\left(x\right):=\left(\lambda \cos \left(x{\sqrt {3}}/2\right)+\mu \sin \left(x{\sqrt {3}}/2\right)\right)\operatorname {e} ^{x/2}$ avec $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est $y_{0}\left(t\right):={\frac {6x^{2}+12x+8}{9}}\operatorname {e} ^{-x}$. La solution générale est $y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }$.

 

Avec des sinus et cosinus

Intégrer l'équation $y''+4y=\sin t$.

Solution

L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y=0$.

Équation caractéristique : $r^{2}+4=0\Leftrightarrow r=\pm 2i$.

Donc $y=\lambda \cos(2t)+\mu \sin(2t),(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

on écrit $\sin t=\Im \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\right)$

et l'on cherche une solution particulière sous la forme $z_{1}=a\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$ solution de $y''+4y=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$.

$z_{1}'=a\mathrm {i} \operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$, $z_{1}''=-a\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$.

Donc $y''+4y=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\Leftrightarrow -a+4a=1$ (en simplifiant directement par $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$) $\Leftrightarrow a={\frac {1}{3}}$

donc $z_{1}={\frac {1}{3}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$.

Or $y_{1}=\Im \left(z_{1}\right)$.

Donc $y_{1}={\frac {1}{3}}\sin t$ est solution particulière à l'équation complète.

Donc $y=\lambda \cos(2t)+\mu \sin(2t)+{\frac {1}{3}}\sin t,\;(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

 

Résoudre l'équation différentielle $y''+2my'+y=\sin x$ dépendant du paramètre réel $m>0$, avec les conditions initiales $y(0)=y'(0)=0$.

Solution

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+2my'+y=0$.

Équation caractéristique : $r^{2}+2mr+1=0\Leftrightarrow r=-m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}$ donc

• si $m>1$, $y_{\lambda ,\mu }=\operatorname {e} ^{-mx}\left(\lambda \cosh(x{\sqrt {m^{2}-1}})+\mu \sinh(x{\sqrt {m^{2}-1}})\right)$ ;
• si $m=1$, $y_{\lambda ,\mu }=(\lambda +\mu x)\operatorname {e} ^{-x}$ ;
• si $m<1$, $y_{\lambda ,\mu }=\operatorname {e} ^{-mx}\left(\lambda \cos(x{\sqrt {1-m^{2}}})+\mu \sin(x{\sqrt {1-m^{2}}})\right)$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

Cherchons a priori une solution $y_{0}$ de la forme $A\cos x+B\sin x$.

$\sin x=y_{0}''+2my_{0}'+y_{0}=2my_{0}'=2m(-A\sin x+B\cos x)\Leftrightarrow A=-{\frac {1}{2m}},B=0$.

Finalement, $y=-{\frac {\cos x}{2m}}+y_{\lambda ,\mu }$, les constantes $\lambda ,\mu$ étant déterminées par les conditions initiales :

$0=y(0)=-{\frac {1}{2m}}+\lambda$ et $0=y'(0)=\mu -m\lambda$ donc $\lambda ={\frac {1}{2m}},\mu ={\frac {1}{2}}$.

• Si $m>1$, $y=-{\frac {\cos x}{2m}}+{\frac {\operatorname {e} ^{-mx}}{2m}}\left(\cosh(x{\sqrt {m^{2}-1}})+m\sinh(x{\sqrt {m^{2}-1}})\right)$ ;
• si $m=1$, $y=-{\frac {\cos x}{2m}}+{\frac {\operatorname {e} ^{-x}}{2m}}(1+mx)$ ;
• si $m<1$, $y=-{\frac {\cos x}{2m}}+{\frac {\operatorname {e} ^{-mx}}{2m}}\left(\cos(x{\sqrt {1-m^{2}}})+m\sin(x{\sqrt {1-m^{2}}})\right)$.

 

Exercices plus complexes

Système différentiel

Résoudre les deux systèmes différentiels :

1. $x'=y,\quad y'=x$ ;
2. $x'=y,\quad y'=-x$

avec conditions initiales $\left(x,y\right)_{|t=0}=\left(x_{0},y_{0}\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.

Pour le second, si $x_{0}=0$ et $y_{0}=1$, quelle est la trajectoire du point $\left(x(t),y(t)\right)$ ?

Solution

1. $x'=y,\quad y'=x\Leftrightarrow x''=x,\quad y=x'\Leftrightarrow x=\lambda \mathrm {e} ^{t}+\mu \mathrm {e} ^{-t},\quad y=\lambda \mathrm {e} ^{t}-\mu \mathrm {e} ^{-t}$, les deux constantes $\lambda ,\mu$ étant déterminées par les conditions initiales : $x_{0}=\lambda +\mu ,\quad y_{0}=\lambda -\mu$, donc $\lambda =\left(x_{0}+y_{0}\right)/2$ et $\mu =\left(x_{0}-y_{0}\right)/2$.
2. $x'=y,\quad y'=-x\Leftrightarrow x''=-x,\quad y=x'\Leftrightarrow x=\lambda \cos t+\mu \sin t,\quad y=-\lambda \sin t+\mu \cos t$, les deux constantes $\lambda ,\mu$ étant déterminées par les conditions initiales : $x_{0}=\lambda ,\quad y_{0}=\mu$.
   Si $x_{0}=0$ et $y_{0}=1$ alors $\left(x(t),y(t)\right)=\left(\sin t,\cos t\right)$ décrit le cercle unité.

 

Exercice atypique

Résoudre l'équation $(E):f'(x)=1+f(-x)$ avec cet indice : Dériver.

Solution

Si l’on dérive, on ne peut pas procéder par équivalences.

Conditions nécessaires :

En dérivant $(E)$, on obtient $f''(x)=-f'(-x)$

Or $(E):f'(x)=1+f(-x)\Rightarrow f'(-x)=1+f(x)$

Donc $f''(x)=-f'(-x)\Rightarrow f''(x)=-1-f(x)$

$\Rightarrow f''+f=-1$ que l’on résout.

L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}+1=0\Leftrightarrow r=\pm i$

Donc $y=\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $f''+f=-1$
  

$f=-1$ est solution constante évidente.

Donc $f=\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x-1,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

Conditions suffisantes :

$(E)\Leftrightarrow -\lambda \,\sin x+\mu \,\cos x=1+\lambda \,\cos x-\mu \,\sin x-1$

$\Leftrightarrow \lambda \,(\cos x+\sin x)=\mu \,(\cos x+\sin x)$

$\Leftrightarrow \lambda =\mu$.

Donc $f(x)=\lambda \,(\cos x+\sin x)-1,\,\lambda \in \mathbb {R}$.