En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Équivalent d'une suite définie par récurrence Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 4-1
Trouver un équivalent de la suite (un)n∈ℕ définie par :
Solution
La suite est décroissante (donc < 1). On montre aisément (par récurrence) qu'elle est de plus strictement positive.
On peut donc appliquer le théorème 2 du cours avec , ce qui donne :
.
Exercice 4-2
Trouver un équivalent de la suite (un)n∈ℕ définie par :
Solution
La fonction est bien définie sur et
.
Par conséquent, la suite est bien définie et strictement croissante. De plus, est continue et n'a pas de point fixe dans , donc
et
.
On peut donc appliquer le théorème 1 du cours avec et , ce qui donne :
.
Exercice 4-3
Soit . Trouver un équivalent de la suite (un)n∈ℕ des sinus itérés de , définie par :