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Exercice : Autour de la dérivée
Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 3-1
Étudier la dérivabilité sur
de la fonction
définie par :
![{\displaystyle f(x)=E(x)\sin ^{2}(\pi x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2f56394f148882aabb4c791c994d028812daef)
(
désignant la fonction « partie entière »).
Exercice 3-2
Étudier la dérivabilité sur
de la fonction
définie par :
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {{\sqrt {1+x}}-1}{\sqrt {x}}}&{\text{si }}x>0,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f972341c29b75ce2e25951ea97185e61fdd328a7)
Solution
est évidemment dérivable sur
et de dérivée à gauche nulle en 0. Elle est également continue en 0, mais pas dérivable à droite en ce point car
quand
,
Exercice 3-3
Soient
des fonctions dérivables sur un intervalle, et ne s'annulant pas sur cet intervalle.
- Pour
, calculer
.
- Généraliser pour
.
- En déduire que la dérivée de
est
.
Exercice 3-4
On pose :
.
1° Déterminer
pour que :
.
2° Calculer alors
.
3° Prouver que
est alors de la forme :
![{\displaystyle P(x)=\left(x-1\right)Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9a2084dea58f1183cd0eb327a93707f5300fe2)
- où
est un polynôme que l'on déterminera.
Exercice 3-5
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme
admette pour racine la racine de son polynôme dérivé.
Solution
.
Exercice 3-6
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme
soit tel que son polynôme dérivé admette
- au moins une racine qui soit également racine de
;
- deux racines qui soient également racines de
.
Exercice 3-7
Déterminer un polynôme
du troisième degré tel que :
![{\displaystyle {\begin{cases}P'''(x)=6\\P(x)-{\frac {x}{3}}P'(x)+P''(x)=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2686dc4d38a318a530ff9761e598e5eb41a19ed9)
Exercice 3-8
Soient
tel que
, et
une fonction dérivable. Prouver que si
est paire alors
est impaire et que si
est impaire alors
est paire.
Solution
Soit
. Si
alors
.
Exercice 3-9
Prouver que si
et
sont deux fonctions dérivables en zéro, telles que
et
, alors :
.
Exercice 3-10
Démontrer que si f est une fonction dérivable en
, alors :
.
Solution
.
Exercice 3-11
Préciser la fonction
telle que :
.
En déduire une expression de chacune des sommes :
;
.