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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Théorie des groupes : Produit libre d'une famille de groupes
Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans ce chapitre, on va définir le produit libre d'une famille de groupes et montrer qu'il possède une propriété universelle analogue à celle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens. Le produit libre ne jouera qu'un rôle modeste dans le futur chapitre sur les présentations de groupes, de sorte que le lecteur intéressé par les présentations et non par le produit libre pourra passer immédiatement au chapitre sur les présentations (non encore écrit dans l'état actuel du cours).
Construction du produit libre
Étant donné une famille
d'ensembles, nous définirons l'ensemble somme de cette famille, ou encore la réunion disjointe de cette famille, comme l'ensemble des couples (i, x), avec i dans
et x dans Xi[1].
Pour un groupe G de neutre 1, on désignera par
l'ensemble
.
Soit
une famille de groupes. On notera 1i le neutre de Gi. On désignera par
l'ensemble somme de la famille
.
Pour tout ensemble X, notons Mo(X) l'ensemble des multiplets d'éléments de X. On sait que Mo(X) est un monoïde (le « monoïde libre construit sur X ») pour la loi de composition par « concaténation » :
![{\displaystyle ((x_{1},\ldots ,x_{m}),(y_{1},\ldots y_{n}))\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f5b6e15940ff05685fb7dec9befaf71a8325fc)
Nous avons déjà rencontré ce monoïde dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments. Les éléments de Mo(X) sont souvent appelés les mots dans X. Le nombre naturel m est appelé la longueur[2] du mot
.
Si
désigne, comme convenu, l'ensemble somme de la famille
, les éléments de Mo(
) sont donc les multiplets de la forme
,
où n parcourt les nombres naturels (
), où
parcourent
et où, pour tout j dans {1, ... , n},
.
(On notera que, par définition de
, un élément
apparaissant dans un couple
est distinct de
)
Définition
Nous dirons qu'un élément
de Mo(
) est réduit s'il n'existe pas d'indice r dans {1, ... , n-1} tel que
.
Exemples
- 1) Le multiplet vide est réduit.
- 2) Si i est un élément de
et g un élément de
, le 1-uplet ((i, g)) est un élément réduit de Mo(
). Le 1-uplet
n'est pas un élément réduit de Mo(
), ce n'est même pas un élément de Mo(
).
- 3) Soient
deux différents éléments de
, soient
et
. Alors
est un élément réduit de Mo(
), mais
n'en est pas un.
Nous allons maintenant munir
d'une loi de groupe *.
Convenons d'abord, pour alléger les notations, que dans l'écriture
, avec
dans
et
dans
,
désignera toujours le produit de
et
dans
. De même, dans l'écriture
,
désignera toujours l'inverse de
dans
. (Cela doit être précisé, puisque les groupes
ne sont pas supposés disjoints deux à deux.)
Soient
et
deux éléments de
, autrement dit deux éléments réduits de Mo(
).
Le « concaténé » de ces deux éléments, autrement dit leur produit dans le monoïde Mo(
), est réduit si et seulement on n'est pas dans le cas
et ![{\displaystyle i_{m}=j_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ae01e2a337bec97a6c04a6c2b2c0615aff320f)
Si on est dans le cas
et
, il est assez naturel d'opérer une réduction du concaténé en procédant comme suit :
- - si
, calculé dans le groupe
, n'est pas égal au neutre de ce groupe, on fusionne le m-ième et le (m+1)-ième couple du concaténé, à savoir les couples
et
, en les remplaçant par le couple
; autrement dit, on remplace le concaténé par le mot
,
- qui peut encore s'écrire
;
- - si maintenant
, calculé dans le groupe
, est égal au neutre de ce groupe, on supprime du concaténé le m-ième et le (m+1)-ième couple, à savoir les couples
et
.
Dans le second cas, il se peut que le résultat ne soit pas encore un mot réduit. On recommence alors l'opération de réduction jusqu'à ce qu'on tombe sur un mot réduit, ce qui doit arriver, puisqu'il est impossible de construire une suite infinie de mots de longueur strictement décroissante. Le mot réduit ainsi obtenu définit le composé (ou composé réduit)
.
Voici une description plus maniable des opérations.
Si
est un élément de Mo(
), si s est un nombre naturel tel que
, définissons le segment initial de longueur s de
comme étant
et définissons le segment final de longueur s de
comme étant
.
(Si s = 0, le segment initial de longueur s et le segment final de longueur s sont égaux au mot vide.)
Si maintenant
est un élément réduit de Mo(
), autrement dit un élément de
, définissons l'inverse de
comme étant
Il est clair que l'inverse de
est lui aussi un élément réduit de Mo(
) et que l'inverse de cet inverse est
. (Nous verrons que
et
sont inverse l'un de l'autre selon la loi de groupe que nous allons définir dans
.)
Soient maintenant
et
deux éléments réduits de Mo(
).
Désignons par t le plus grand nombre naturel
min{m, n} tel que le segment final de longueur t de
et le segment initial de longueur t de
soient inverses l'un de l'autre.
Autrement dit, t est le plus grand nombre naturel
min{m, n} tel qu'il existe un élément (réduit)
de Mo(
) pour lequel
![{\displaystyle ((i_{m+1-t},g_{m+1-t}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))=((k_{1},f_{1}),\ldots ,(k_{t},f_{t}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c2be51bd2a7982e9bdf4e84a3fdb2f6beb459a)
et
![{\displaystyle ((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{t},h_{t}))=((k_{t},f_{t}^{-1}),\ldots ,(k_{1},f_{1}^{-1})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0361891eb628140d8d9161a2e741de54aec5c31)
Cela revient encore à dire que t est le plus grand nombre naturel
min{m, n} tel que
![{\displaystyle (j_{1},h_{1})=(i_{m},g_{m}^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fb4c089fc9cb2d88d8739b75a60481b8291d0d)
![{\displaystyle (j_{2},h_{2})=(i_{m-1},g_{m-1}^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e965c208df594f5587b076b1fc7df36a2cc2e4)
- ...
![{\displaystyle (j_{t},h_{t})=(i_{m+1-t},g_{m+1-t}^{-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdf94b60711fcfba56b3f0d851de5e1292ee682)
Le nombre t étant ainsi défini (il existe et, si
et
sont distincts, il est égal à 0), on définit le composé
![{\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))*((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b344b401ffcc96da993ba2045c0ecb33513f3812)
comme égalant
- si on n'est pas dans le cas (
et
);
,
- qu'on peut aussi écrire
,
- si on est dans le cas (
et
).
Il est clair que, dans les deux cas, le composé
![{\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))*((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b344b401ffcc96da993ba2045c0ecb33513f3812)
est un élément réduit de Mo(
). (Dans le second cas, où
, le fait que le composé appartient à Mo(
) résulte du fait que, par maximalité de t,
)
Nous avons donc défini une loi de composition interne * dans l'ensemble
des éléments réduits de Mo(
). Quand nous parlerons du composé (ou composé réduit) de deux éléments
et
de
, il s'agira de ![{\displaystyle v*w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb03e7909a04af7961070f5b455ee5f3d424726)
Par exemple, si
, si
est le groupe multiplicatif des puissances de 3 (sous-groupe <3> de
), si
est le groupe multiplicatif des puissances de 5, alors
![{\displaystyle ((2,5),(1,3^{-1}),(2,5^{7}),(1,3^{8}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d58a20dd6fc7ce1d873a08eef5e6afe88257177)
et
![{\displaystyle ((1,3^{-8}),(2,5^{-7}),(1,3^{2}),(2,5^{-1}),(1,3^{9}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c40e1cf0614ae83b321469509b3de07a4446a4b)
sont des éléments réduits de Mo(
) et leur composé réduit
![{\displaystyle ((2,5),(1,3^{-1}),(2,5^{7}),(1,3^{8}))*((1,3^{-8}),(2,5^{-7}),(1,3^{2}),(2,5^{-1}),(1,3^{9}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1deeef698428fb5d858a644e85d2d053c8a89901)
est
![{\displaystyle ((2,5),(1,3),(2,5^{-1}),(1,3^{9})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4ae8f6ac574f2998c8e435d9dd8d7d597cfbea)
Le fait que les indices 1 et 2 alternent n'est évidemment pas fortuit.
Début d’un théorème
Théorème 1
Soit
une famille de groupes. Muni de la loi *, l'ensemble
est un groupe. L'élément neutre est le mot vide et l'inverse du mot
est le mot
Fin du théorème
Démonstration. Ce qui concerne le neutre et l'inverse résulte clairement de la définition du composé, donc l'essentiel est de prouver que la loi * est associative. Comme nous l'avons fait pour démontrer l'associativité de la loi de composition dans F(X) (groupe libre construit sur l'ensemble X), nous allons utiliser le procédé de van der Waerden. L'imitation est si étroite que le lecteur pourrait normalement trouver la démonstration lui-même.
Pour tout élément de
de la forme ((i, g)) (avec
et
), notons
l'application
![{\displaystyle v\mapsto ((i,g))*v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8f06f346cc4d389a5b985125387a99a821054c)
de
dans lui-même. (Les barres verticales n'ont rien à voir avec le cardinal.)
Donc, pour tout élément
de
,
.
Prouvons que pour tout élément
de
et tout élément
de
, les applications
et
sont réciproques l'une de l'autre.
Soit
un élément de
.
Si tout d'abord
ou (
et
), alors
,
d'où, en passant aux images par
,
- (1)
![{\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert (v)=\vert i,g^{-1}\vert ((i,g),(i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c229278a274d9fc01687241018261149f0043da)
(Rappel :
étant une application partant d'une partie P d'un produit cartésien
et
étant un élément de P, l'image de
par
est généralement notée
, alors qu'en toute rigueur il faudrait
On s'est conformé à cet usage dans l'écriture du membre droit de (1).)
Par définition de
, le membres droit de (1) égale
,
donc nous avons prouvé que
- (2)
si
ou
et
), alors ![{\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df0d01cfbe48e155428d27b6c3b70874460c13f)
Si maintenant
et
, nous avons à distinguer entre les cas
et
dans
.
Supposons d'abord
Alors, par définition de
,
,
d'où, en passant aux images par
,
- (3)
![{\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=\vert i,g^{-1}\vert ((i_{1},gh_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef44be13c9da2740d09e9e0e17b833445ac9ef93)
Puisque nous supposons
et que (par définition d'un élément de
),
, d'où
, le membre droit de (3) égale
,
donc nous avons prouvé que
- (4)
si
,
et
, alors ![{\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df0d01cfbe48e155428d27b6c3b70874460c13f)
Si enfin (dans le cas
), nous avons
, alors
![{\displaystyle \vert i,g\vert (v)=((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5bef0ac971a6a94dafecc581169bc18fe414c3)
d'où, en passant aux valeurs par
,
- (5)
![{\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=\vert i,g^{-1}\vert ((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6087efb3b38197855edca7d35e01e4b0041a9508)
Puisque nous supposons
et que (par définition d'un mot réduit)
, le membre droit de (5) égale
, donc (5) peut s'écrire
![{\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=((i_{1},g^{-1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a280d177676e76322fe2c89b2ad412a060bfb6)
Puisque nous supposons
, cela revient à
,
autrement dit
![{\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431065a9663de5ba22a51856e595a896b52a7845)
Joint à (2) et à (4), cela prouve que cette relation est vraie dans tous les cas, donc
est la transformation identique de
.
En remplaçant dans ce résultat
par
, nous trouvons que
est elle aussi la transformation identique de
.
Donc
- (6)
et
sont deux permutations réciproques de
,
comme annoncé.
Montrons maintenant que si
est un élément de
et
deux éléments de
non inverses l'un de l'autre, alors
- (thèse 7)
![{\displaystyle \qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert =\vert i,gh\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63caa9739da03060ecad5c97828c3acd4e7d1ab1)
Soit
un élément de
; il s'agit de prouver que
,
autrement dit
- (thèse 8)
![{\displaystyle \qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert \ ((i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))=\vert i,gh\vert \ ((i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a39d0a6e2feec98e875cfe566911573862aa6f1)
Supposons d'abord que
- (hyp. 9)
ne commence pas par un couple appartenant à ![{\displaystyle \{i\}\times G_{i}^{\sharp }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b63638699c7450a7bdfd211d9e6c2660675d2a4)
Cela revient à supposer
ou
et
.
Alors
,
donc le membre gauche de la thèse (8) égale
![{\displaystyle \vert i,g\vert \ ((i,h),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad73edd95e1ee417c167cd69085332c5510a303e)
Puisque nous supposons que
et
ne sont pas inverses dans
, cela revient à dire que le membre gauche de la thèse (8) égale
![{\displaystyle ((i,gh),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becdd423e0976e5c2f454185a9bbe7ccf4d3f2b5)
D'autre part, d'après l'hypothèse (9) sur
, le membre droit de la thèse (8) égale lui aussi
![{\displaystyle ((i,gh),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becdd423e0976e5c2f454185a9bbe7ccf4d3f2b5)
Nous avons donc prouvé que
- (10)
la thèse (8) est vraie dans l'hypothèse (9) sur
.
Supposons maitenant que l'hypothèse (9) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que
- (hyp. 11)
et ![{\displaystyle i_{1}=i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b542db573ce13b8b8168f56203769286d59405f)
Si tout d'abord
- (hyp. 12)
dans
,
nous avons
![{\displaystyle \qquad \vert i,h\vert (v)=((i_{1},ha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bceca3214617f3737df1bfdab9cb91542c239e4)
d'où
- (13)
![{\displaystyle \qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert \ (v)=\vert i,g\vert \ ((i_{1},ha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40af24f88378dd298882e47382dfda675d783e8)
Si tout d'abord
- (hyp. 14)
dans
,
il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale
![{\displaystyle \qquad ((i_{1},gha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d333501ea9b1115e21707b4bcb19dc81b0055b)
D'autre part, puisque nous supposons (hyp. 14) que
dans
, le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi
![{\displaystyle \qquad ((i_{1},gha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d333501ea9b1115e21707b4bcb19dc81b0055b)
Donc
- (15)
la thèse (8) est vraie si les hypothèses (11), (12) et (14) sont satisfaites.
Toujours dans les hypothèses (11) et (12), supposons maintenant que l'hypothèse (14) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que
dans ![{\displaystyle G_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39855ee79bfe2bd1c18ff0504d9fbbf888574ddc)
Alors il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale
![{\displaystyle \qquad ((i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca8e8fcc92fd73d8f0aa6b6deffd3ceaf44d500)
D'autre part, puisque nous supposons que
dans
, le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi
![{\displaystyle \qquad ((i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca8e8fcc92fd73d8f0aa6b6deffd3ceaf44d500)
Joint à (15), cela montre que
- (16)
la thèse (8) est vraie dans les hypothèses (11) et (12), quelle que soit la valeur de ![{\displaystyle gha_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ad43e2cf2236c9c798b8741ab96a18bd9ad777)
Toujours dan l'hypothèse (11), où
et
, cessons de faire l'hypothèse (12) et supposons, au contraire, que
dans ![{\displaystyle G_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39855ee79bfe2bd1c18ff0504d9fbbf888574ddc)
Alors
![{\displaystyle \qquad \vert i,h\vert (v)=((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e488c3e535296504a55ba397d166f242b57a7846)
donc le membre gauche de la thèse (8) égale
![{\displaystyle \qquad ((i_{1},g),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e615a4d597e2952ab8b41189298666a8b5f972)
D'autre part, puisque nous supposons
dans
et que
, nous avons
dans
, donc le membre droit de la thèse (8) égale lui aussi
![{\displaystyle \qquad ((i_{1},g),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e615a4d597e2952ab8b41189298666a8b5f972)
Joint aux résultats (10) et (16), cela montre que la thèse (8) est vraie dans tous les cas. Comme noté, cela revient à la thèse (7), à savoir que
- (17)
pour tout élément
de
et tous éléments
de
non inverses l'un de l'autre, ![{\displaystyle \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert =\vert i,gh\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68b7b23f7719f7e1c6e2ae862d27bc2f651ff3e)
Notons S le groupe symétrique (groupe des permutations) de l'ensemble ![{\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14820d163fec86c57bfa3285ad66a2c3db1c5db8)
D'après (6), les applications
, avec
dans
et
dans
, sont des permutations de
et donc des éléments de S.
Notons E le sous-groupe de S engendré par ces permutations. D'après la « description constructive du sous-groupe engendré » (chapitre Groupes, premières notions), tout élément
de E peut s'écrire
- (18)
,
avec
,
pour tout
et ![{\displaystyle \epsilon _{1},\ldots \epsilon _{n}\in \{1,-1\}\subseteq \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bc69a991086592a0451687ca148c93efdd3f83)
Nous avons vu en (6) que
, donc, pour chaque
, la permutation
apparaissant dans (18) est de la forme
avec ![{\displaystyle h_{j}\in G_{i_{j}}^{\sharp }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d275afa1975ffa607d63e823b0373179cd03e9d)
Donc, d'après (18), tout élément
de E peut s'écrire
![{\displaystyle f=\vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0265442c00fbb732a57ffe4260f74b588d3e47)
avec
et
pour tout
.
Considérons une telle écriture de
où
est le plus petit possible. Alors on n'a jamais
, car dans le cas contraire, les résultats (6) et (17) montrent que
, autrement dit
,
pourrait être soit supprimé si on avait
dans
, soit remplacé par
dans le cas contraire, ce qui fournirait une écriture de
où
serait devenu plus petit, contrairement au choix de
.
Nous avons donc prouvé que tout élément
du sous-groupe E de S peut s'écrire
![{\displaystyle f=\vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0265442c00fbb732a57ffe4260f74b588d3e47)
avec
pour tout
et
pour tout
tel que ![{\displaystyle 1\leq k\leq n-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b277f72db8c66cb63c3c2efee06731f44e265eb8)
Donc
- (19) l'application
![{\displaystyle \psi :{\underset {i\in I}{*}}G_{i}\to E:((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\mapsto \vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1969879e33d8b2fdba132ca317d552524ccd7b1)
- est surjective.
Prouvons maintenant que
- (thèse 20)
est injective.
Soit
l'application
de E dans
(où 1 désigne le neutre
de
).
Nous allons prouver que
est la transformation identique de
, ce qui prouvera la thèse (20).
Soit
un élément de ![{\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14820d163fec86c57bfa3285ad66a2c3db1c5db8)
Par définition de
,
![{\displaystyle \lambda \circ \psi ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa75613d8bbeaab5c55f70b6691c56c3791ef057)
est la valeur en
de la permutation ![{\displaystyle \psi ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf74607a1672a561f9f32405cd137391c5d7034)
Autrement dit, pour tout élément
de
,
- (21)
![{\displaystyle \qquad \lambda \circ \psi \ ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))=\vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert (\emptyset ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc308a5c3daa1a9db46493914b4fb97b02a54fe0)
Explicitons le membre droit en prouvant par récurrence sur
que
- (thèse 22)
![{\displaystyle \qquad \vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert (\emptyset )=((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac931256dde1a471837bfb24f6948e6505e2ad3f)
C'est vrai pour
(les deux membres sont alors égaux à
). Si
, alors, par hypothèse de récurrence sur
,
![{\displaystyle \vert i_{2},h_{2}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert (\emptyset )=((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fbf4c3400f7c21a58ee73cdf214aec9ba0af1e)
En passant aux valeurs par
, on obtient
![{\displaystyle \vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert (\emptyset )=\vert i_{1},h_{1}\vert ((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cecc50a9a05878b38ceebc04d4ebf18c22ad8b8c)
Si le mot
n'est pas vide (auquel cas nous pouvons parler de
), nous avons
(par définition d'un élément réduit de Mo(
)), donc, vu la définition de
, notre résultat peut s'écrire (que le mot
soit vide ou non)
,
ce qui prouve la thèse (22) par récurrence sur
.
La relation (21) peut donc s'écrire
![{\displaystyle \qquad \lambda \circ \psi \ ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))=((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e23ff4b444bf42860ad6bd2fd0503b85d7879d)
Cela montre que, comme annoncé,
est la transformation identique de
. Comme noté, cela prouve la thèse (20), à savoir que
est injective. Joint à (19), cela prouve que
- (23) l'application
![{\displaystyle \psi :{\underset {i\in I}{*}}G_{i}\to E:((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\mapsto \vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1969879e33d8b2fdba132ca317d552524ccd7b1)
- est une bijection de
sur E.
Prouvons que, d'autre part,
- (thèse 24)
est un homomorphisme de magmas de
dans le groupe de permutations E.
Soient
deux éléments de
; il s'agit de prouver que
- (thèse 25)
![{\displaystyle \qquad \psi (v*w)=\psi (v)\circ \psi (w).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6099c128498cc1c7fa60782a99f12864500e8ee2)
Soit
le plus grand nombre naturel (
) possédant la propriété suivante :
- il existe
et
tels que
soit de la forme
- (26)
![{\displaystyle \qquad v=((i_{1},f_{1}),\ldots ,(i_{r},f_{r}),(j_{1},g_{1}),\ldots ,(j_{s},g_{s}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f747d4fcd003b7a4a1542cd275ab2943dc1175)
- et
de la forme
- (27)
![{\displaystyle \qquad w=((j_{s},g_{s}^{-1}),\ldots ,(j_{1},g_{1}^{-1}),(k_{1},h_{1}),\ldots ,(k_{t},h_{t})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84e8a529a3930f240e1739bf80593c2110e44a8)
(Puisque
est réduit, il n'y a pas deux indices successifs égaux dans la suite
, et même chose pour
.)
Par définition de
, nous avons donc
- (28)
![{\displaystyle \quad \psi (v)=\vert i_{1},f_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{r},f_{r}\vert \circ \vert j_{1},g_{1}\vert \circ \cdots \vert j_{s},g_{s}\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9cb5df54286e4455fe13e0152396a5f75284c5)
et
![{\displaystyle \quad \psi (w)=\vert j_{s},g_{s}^{-1}\vert \circ \cdots \circ \vert j_{1},g_{1}^{-1}\vert \circ \vert k_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \vert k_{t},h_{t}\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5284c6bb6e131f3dc575073c19c23ebf2bd570c6)
D'après (6), cette dernière relation peut encore s'écrire
![{\displaystyle \quad \psi (w)=\vert j_{s},g_{s}\vert ^{-1}\circ \cdots \circ \vert j_{1},g_{1}\vert ^{-1}\circ \vert k_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \vert k_{t},h_{t}\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81788e04e2f35e1e792bac2ab907830096edee44)
En composant cela membre à membre avec (28), nous obtenons
- (29)
![{\displaystyle \qquad \psi (v)\circ \psi (w)=\vert i_{1},f_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{r},f_{r}\vert \circ \vert k_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert k_{t},h_{t}\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e433d36b085855f0c363b259d43a9f942a6436)
Supposons d'abord
- (hyp. 30)
![{\displaystyle \qquad i_{r}\not =k_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2dc31c2afae84e3be422358f791bdb867af8824)
Alors, par définition du composé (réduit) de deux éléments de
, les relations (26) et (27) donnent
,
d'où, par définition de
![{\displaystyle \psi (v*w)=\vert i_{1},f_{1}\vert ,\ldots ,\vert i_{r},f_{r}\vert ,\vert k_{1},h_{1}\vert ,\ldots ,\vert k_{t},h_{t}\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed1fcdc1f05d8be82b112c4c049ed83d6d590de)
et la comparaison avec (29) montre que
,
ce qui prouve la thèse (25) dans l'hypoyhèse (30), où ![{\displaystyle i_{r}\not =k_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988b4d35f3b33878cd9c659a63e42a83b666ae16)
Cessons maintenant de faire l'hypothèse (30) et supposons au contraire que ![{\displaystyle i_{r}=k_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f2ca4b3d5823868621c9cc2906f45688460d31)
Alors, par maximalité de
,
et
ne sont pas inverses dans
, donc les écritures (26) et (27) de
et
donnent
,
d'où
- (31)
![{\displaystyle \qquad \psi (v*w)=\vert i_{1},f_{1}\vert \circ \ldots \circ \vert i_{r-1},f_{r-1}\vert \circ \vert i_{r},f_{r}h_{1}\vert \circ \vert k_{2},h_{2}\vert \circ \ldots \circ \vert k_{t},h_{t}\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ab765ca972885b614a68d3b4f345f379cf2b7d)
D'autre part, puisque nous supposons
et que, comme nous l'avons noté,
et
ne sont pas inverses dans
, il résulte de (17) que
,
donc (29) peut s'écrire
![{\displaystyle \qquad \psi (v)\circ \psi (w)=\vert i_{1},f_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{r-1},f_{r-1}\vert \circ \vert i_{r},f_{r}h_{1}\vert \circ \vert k_{2},h_{2}\vert \circ \cdots \circ \vert k_{t},h_{t}\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4486fe4eedd6df01fae5032a87aa7c072cd6095f)
et la comparaison avec (31) donne de nouveau
,
donc la thèse (25) est vraie dans tous les cas. Comme noté, cela prouve la thèse (24), à savoir que
est un homomorphisme de magmas de
dans le groupe de permutations E.
D'après (23), cet homomorphisme est un isomorphisme, donc le magma
est un groupe, ce qui prouve l'énoncé.
Si
est la partie
de
, on écrit souvent
au lieu de
. En particulier, si G et H sont deux groupes,
désigne le produit libre de la famille
, avec
et ![{\displaystyle K_{2}=H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341fceaa219891f765844d12ffe626244e527dca)
Il y a une certaine ambigüité dans ces notations, car par exemple
n'est généralement pas identique à
, mais nous verrons dans les exercices que ces deux groupes sont isomorphes.
Remarques.
1° Soit
une famille de groupes deux à deux disjoints. (On pourrait même se contenter de supposer que les
sont deux à deux disjoints.) Alors, pour un élément
de
, il n'existe qu'un élément
de
tel que
appartienne à
. On peut donc parler des multiplets
, où
parcourt
, où
parcourent
et où il n'y a pas de
tel que l'unique
comprenant
soit le même que celui qui comprend
En imitant notre définition du produit libre, on peut munir l'ensemble des multiplets en question d'une structure de groupe et le groupe P ainsi obtenu est isomorphe à
par
![{\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}\to P:((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))\mapsto (g_{1},\ldots ,g_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02fa5cbaddb97f2a8a7f356b35fc766dafbc74e9)
Pour construire le produit libre d'une famille
de groupes, certains auteurs[3] se ramènent au cas où les
sont deux à deux disjoints et définissent alors leur produit libre comme le groupe que nous avons noté P; ils ajoutent qu'on passe au cas général en choisissant des copies mutuellement disjointes des
. On a préféré une méthode qui ne demande pas de faire des choix arbitraires et qui s'applique directement au cas où les
ne sont pas forcément disjoints deux à deux. (En fait, si on munit
de la structure de groupe transportée de
par la bijection
, le produit libre des
selon notre définition est le produit libre des groupes deux à deux disjoints
selon la définition des auteurs en question.)
2° Le produit libre d'une famille
de groupes, tel que nous l'avons défini, ne dépend pas des neutres des
. Dans le même ordre d'idées, si
est une famille de groupes, si J est une partie de I telle que, pour tout
dans
, le groupe
soit trivial, alors
est égal à ![{\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f128b7329e87a6570b93965acecd5822ea680744)
3° On vérifie facilement que si
est une famille de groupes et
une partie de
, alors
est un sous-groupe de
.
4° Soient
et
deux familles de groupes telles que, pour tout
dans
,
soit un sous-groupe de
On vérifie facilement que
est un sous-groupe de
.
Propriété universelle du produit libre
Avant d'énoncer la propriété universelle du produit libre, donnons un théorème préparatoire.
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration. On va donner la démonstration, bien que tout soit assez banal.
Soient x, y des éléments de
; prouvons que
- (thèse 1)
,
où
désigne la loi du groupe
.
Si
et
sont tous deux distincts de
, la thèse (1) peut s'écrire
![{\displaystyle \varphi _{i}(x,y){\overset {?}{\ =\ }}((i,x))*((i,y)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60b04a8354f6f2b36a2acc11e9e4661f499c266)
Si
dans
, les deux membres sont égaux à
Dans le cas contraire, les deux membres sont égaux à ((i, xy)). La thèse (1) est donc vraie si
et
sont tous deux distincts de
.
Si
, les deux membres de la thèse (1) sont égaux à
; si
, les deux membres de la thèse (1) sont égaux à
.
La thèse (1) est donc vraie dans tous les cas, donc chaque
est un homomorphisme de
dans P.
Il résulte clairement de la définition de
que son noyau est réduit à
, donc l'homomorphisme
est injectif, donc
est isomorphe à
.
Tout élément de P est de la forme
, où, pour tout
dans
,
appartient à
et où la suite
ne comprend pas deux valeurs successives égales. Alors
,
donc les éléments de la forme
, où
parcourt
et où
parcourt
, engendrent P. Puisqu'un tel
appartient à
, les sous-groupes
de P engendrent P.
Si
et
sont des éléments de
, tout élément de
est de la forme
et tout élément de
est de la forme
; donc, si
et
sont distincts,
et
sont disjoints, autrement dit
et
se coupent trivialement, ce qui achève de démontrer l'énoncé.
Remarque. Au lieu de
, on emploie souvent la notation
pour désigner un élément de
, tout en supposant que
appartiennent à la réunion des
. Cela revient à identifier, pour chaque
dans
, le sous-groupe
de
au groupe
. Si on ne suppose pas que les
se coupent trivialement deux à deux, cette notation rend (théoriquement) ambiguë la loi de composition du groupe
dans le cas où une réduction est nécessaire. Dans le présent cours, on s'en tiendra à la notation
, mais le lecteur doit savoir que la notation
est courante et que l'éviter risque d'être considéré par certains comme une mauvaise pratique.
Début d’un théorème
Théorème 3. Propriété universelle du produit libre
Soit
une famille de groupes, soit
le produit libre de cette famille; pour tout
dans
, on définit l'homomorphisme
(i-ième inclusion canonique) comme au théorème 2.
Soient G un groupe et
une famille d'homomorphismes
Il existe un et un seul homomorphisme
tel que, pour tout
dans
,
![{\displaystyle f\circ \varphi _{i}=f_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a52123b2ecd13cace5757d083846637ad324392)
L'homomorphisme
applique l'élément
de P sur l'élément
de G.
Fin du théorème
Démonstration. Considérons l'application
![{\displaystyle f:P\to G:((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))\mapsto f_{i_{1}}(x_{1})\cdots f_{_{n}}(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488593443ef08a27e2af85c2ff8ebd36d9a095a8)
et prouvons que
est un homomorphisme.
Il s'agit de prouver que
- si
et
sont des éléments de P, alors,
désignant la loi de groupe de P,
- (thèse 1)
![{\displaystyle \qquad f(((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))*((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r})))=f_{i_{1}}(x_{1})\cdots f_{i_{n}}(x_{n})f_{j_{1}}(y_{1})\cdots f_{j_{r}}(y_{r}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63fab1a68e286f9a952fd9e89d47bf7ce2e5949a)
Soit
le plus grand nombre naturel
tel qu'il existe un s-uplet
pour lequel
- (2)
![{\displaystyle \qquad ((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))=((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n-s},x_{n-s}),(k_{1},z_{1}),\ldots (k_{s},z_{s}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19614fa3364e6507be981a81ed6774137c37baab)
et
- (3)
![{\displaystyle \qquad ((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r}))=((k_{s},z_{s}^{-1}),\ldots ,(k_{1},z_{1}^{-1}),(j_{s+1},y_{s+1}),\ldots (j_{r},y_{r})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25fc59c2c3e7cfbaac7f4182b4154d5d345fa94a)
Par définition de
,
- (4)
si
;
- (5)
si ![{\displaystyle i_{n-s}=j_{s+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df694557509efca6969340c58636f292b8b60852)
Si tout d'abord
, la relation (4), qui s'applique dans ce cas, donne, par pasage aux valeurs par
,
- (6)
![{\displaystyle \qquad f(((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))*((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r})))=f_{i_{1}}(x_{1})\cdots f_{i_{n-s}}(x_{n-s})f_{j_{s+1}}(y_{s+1})\cdots f_{j_{r}}(y_{r}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e7ffb328600bcefb7e175bbcd6105dbe4b0cd5)
Si maintenant
, la relation (5), qui s'applique dans ce cas, donne
- (7)
![{\displaystyle \qquad f(((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))*((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r})))=f_{i_{1}}(x_{1})\cdots f_{i_{n-s-1}}(x_{n-s-1})f_{i_{n-s}}(x_{n-s}y_{s+1})f_{j_{s+2}}(y_{s+2})\cdots f_{j_{r}}(y_{r}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c2c3927541971aef6a0fdec6b172168c4d8431)
Puisque
est un homomorphisme, on peut remplacer dans le membre droit de (7)
par
, qui peut encore s'écrire (puisque (7) est sous l'hypothèse
)
. La relation (7) devient ainsi identique à la relation (6), donc la relation (6) est vraie aussi bien dans le cas
que dans le cas ![{\displaystyle i_{n-s}\not =j_{s+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a56ab270f5d1d1a81a68606b6fd016de2132eb)
Pour prouver la thèse (1), il suffit donc de prouver que, dans G,
![{\displaystyle f_{i_{n-s+1}}(x_{n-s+1})\cdots f_{i_{n}}(x_{n})f_{j_{1}}(y_{1})\cdots f_{j_{s}}(y_{s})=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffc65880b17f4536e03f64537dce033b8dcd754)
D'après (2) et (3), cela peut s'écrire
,
ce qui est bien vrai. Nous avons donc prouvé que notre application
est un homomorphisme de P dans G et il résulte clairement de la définition de
que, pour tout
dans
,
, ce qui prouve l'existence d'un homomorphisme
tel que dans l'énoncé.
Si
est un « autre » homomorphisme de P dans G satisfaisant à la condition sur
, c'est-à-dire si
- pour tout
dans
,
,
alors
et
coïncident en tout élément de
; nous avons vu au théorème précédent que les
engendrent P, donc
et
sont égaux, ce qui prouve l'unicité de l'homomorphisme
tel que dans l'énoncé.
Remarque. Le lecteur qui connaît les éléments de la théorie des catégories notera que la propriété universelle qu'on vient de démontrer revient à dire que le produit libre
et la famille
constituent dans la catégorie des groupes un coproduit (appelé aussi somme) de la famille ![{\displaystyle (G_{i})_{i\in I}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764fd04ce20aa685200d743717145f9e534d24f9)
Dans le chapitre Produit direct et somme restreinte, nous avons prouvé que si
est une famille de groupes abéliens, la somme directe
et la famille
des inclusions canoniques correspondantes constituent un coproduit (ou somme) de la famille
dans la catégorie des groupes abéliens. Si
est une famille de groupes abéliens, le produit libre
de cette famille est un groupe généralement non abélien et n'est donc généralement pas un coproduit des
dans la catégorie des groupes abéliens.
La propriété universelle du produit libre admet une sorte de réciproque :
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration. Appliquons les hypothèses au groupe
et aux homomorphismes
, où
est la i-ième inclusion canonique définie au théorème 2. Nous trouvons qu'il existe un (et un seul) homomorphisme
de P dans
tel que, pour tout
dans
,
- (1)
![{\displaystyle \qquad \varphi _{i}=m\circ \psi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b6c25e5a245726f9e383ae1541950d2e17fbcc)
Nous allons prouver que
est un isomorphisme de P sur
.
D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un (et un seul) homomorphisme
de
dans P tel que, pour tout
dans
,
- (2)
![{\displaystyle \qquad \psi _{i}=f\circ \varphi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef890072983d114d05015ed2db9ec0743800055)
En portant (1) dans (2), nous trouvons que, pour tout
dans
,
- (3)
![{\displaystyle \qquad \psi _{i}=f\circ m\circ \psi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebdf4e024bffaaab15c52243f8ea12f8c53de75)
D'autre part, en portant (2) dans (1), nous trouvons que, pour tout
dans
,
- (4)
![{\displaystyle \qquad \varphi _{i}=m\circ f\circ \varphi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d328652cc2a62d6ebb932f87cc475e53475299b)
Appliquons maintenant les hypothèses de l'énoncé au groupe G = P et aux homomorphismes
de
dans P. Nous trouvons qu'il existe un et un seul homomorphisme
de P dans lui-même tel que, pour tout
dans
,
![{\displaystyle \psi _{i}=g\circ \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31ea19c318272de2facfafed87c6b3f693078ca)
Puisque l'homomorphisme identique de P dans lui-même satisfait à cette condition sur
, il est donc le seul à y satisfaire, donc le résultat (3) donne
- (5)
![{\displaystyle \qquad f\circ m=\mathrm {id} _{P}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8e4fa673be6624b489fd6cd82b27c575af46fb)
En utilisant l'assertion d'unicité de la propriété universelle comme on vient d'utiliser celle des hypothèses de l'énoncé, on déduira de (4) que
![{\displaystyle \qquad m\circ f=\mathrm {id} _{{\underset {i\in I}{*}}G_{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a015a1da6fc077179adac764ab85464cccf43a)
Joint à (5), cela prouve que
est un isomorphisme de P sur
, ce qui prouve l'énoncé.
Remarque. On a rédigé la démonstration de sorte qu'elle ne repose pas sur la construction du produit libre mais uniquement sur sa propriété universelle. Cette démonstration se généralise immédiatement au coproduit dans n'importe quelle catégorie.
Les groupes libres comme produits libres
Nous allons voir dans cette section que le groupe libre F(X) construit sur l'ensemble X pourrait être défini comme un cas particulier de produit libre. On désignera par
le groupe additif
.
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration. Pour tout élément
de
, posons
, de sorte que
, et notons
la x-ième inclusion canonique de
dans
(L'homomorphisme
a été défini au théorème 2. On se rappellera que le neutre de
est 0 et non 1.)
Pour tout élément
de
, désignons par
l'homomorphisme de
dans F(X) qui applique
sur
(calculé dans le groupe F(X)).
D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un (et un seul) homomorphisme
de
tel que, pour tout élément
de
,
![{\displaystyle f\circ \varphi _{x}=f_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3122bc4907543b647452abcad27272713ecc6b75)
Alors
applique
sur
, autrement dit
- (1)
applique l'élément
de
sur ce même élément
de F(X).
(Il se fait qu'avec nos définitions, la base canonique
de F(X) est une partie commune de F(X) et de
.)
D'autre part, puisque
est une base du groupe libre F(X), il existe un (et un seul) homomorphisme
de F(X) dans
qui, pour tout élément
de X, applique l'élément
de F(X) sur ce même élément
de
.
Compte tenu de (1), il en résulte d'une part que, pour tout élément
de X,
- (2)
applique l'élément
de F(X) sur lui-même
et, d'autre part, que
- (3)
applique l'élément
de
sur lui-même.
D'après (2) et (par exemple) le fait que
est une partie génératrice de F(X),
- (4)
est l'automorphisme identique de F(X).
D'autre part, d'après (3) et (par exemple) l'assertion d'unicité de la propriété universelle du produit libre (ou encore le fait que les éléments de
de la forme
engendrent
),
est l'automorphisme identique de
.
Joint à (4), cela prouve que
est un isomorphisme de
sur F(X), ce qui démontre l'énoncé.
Remarques. 1° Vu la relation (1) de la démonstration et le fait que
est un homomorphisme (ou encore vu la caractérisation qui accompagne la propriété universelle du produit libre),
applique l'élément
de ![{\displaystyle {\underset {x\in X}{*}}\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817314a660b6ea943576381b9e3ac63dfca8418b)
sur l'élément
![{\displaystyle {\widetilde {x_{1}}}^{n_{1}}\cdots {\widetilde {x_{r}}}^{n_{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba14be2e44c2dae925797852f49ac8ca0a14fd02)
de F(X) (où
est mis pour
).
Puisque
est un isomorphisme, cela prouve en particulier que l'application
![{\displaystyle ((x_{1},n_{1}),\ldots ,(x_{r},n_{r}))\mapsto {\widetilde {x_{1}}}^{n_{1}}\cdots {\widetilde {x_{r}}}^{n_{r}}=((x_{1},1))^{n_{1}}\cdots ((x_{r},1))^{n_{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d39239421e74656f5b0d4e30e0228256d6b75f)
de l'ensemble
dans l'ensemble F(X) est une bijection, ce qu'on avait annoncé dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments, section « Seconde forme des éléments de F(X) ».
2° Puisque le produit libre
est canoniquement isomorphe au groupe libre F(X), il rend les mêmes services que F(X), ce qui explique que certains auteurs[4] définissent F(X) comme égal à
. Il faut cependant noter que la longueur d'un élément
de F(X), telle qu'on l'a définie au chapitre Groupes libres, premiers éléments, n'est généralement pas égale à la longueur, définie dans le présent chapitre, de l'élément de
correspondant à
.
Produit libre interne
Soient G un groupe et
une famille de sous-groupes de G. Pour tout
dans
, désignons par
l'homomorphisme
de
dans G.
D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un et un seul homomorphisme
de
dans G tel que, pour tout
dans
,
,
où l'homomorphisme
est la j-ième inclusion canonique (définie au théorème 2).
L'homomorphisme
applique l'élément
de
sur l'élément
de G.
Donc si G est un groupe et
une famille de sous-groupes de G, dire que G est le produit libre interne de la famille
revient à dire que pour tout élément
de G, il existe un et un seul élément
de
tel que
![{\displaystyle g=g_{1}\cdots g_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4038faddbf7270df9d8331c6390f7be5586f09ac)
Pour distinguer entre le produit libre interne et le produit libre
au premier sens de l'expression, on désigne parfois
comme le produit libre externe des ![{\displaystyle G_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39855ee79bfe2bd1c18ff0504d9fbbf888574ddc)
D'autre part, on commet parfois l'abus d'écrire
pour dire que G est le produit libre interne des
Voici une caractérisation du produit libre interne qui ne fait pas intervenir le produit libre externe.
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration. Voir les exercices.
On vérifie facilement (par exemple à l'aide du théorème 6) que si
est une famille de groupes, si pour tout
dans
,
désigne la j-ième inclusion canonique, alors le produit libre externe
est le produit libre interne de la famille
Notes et références
- ↑ N. Bourbaki, Théorie des ensembles, 1970, p. II.30, donne une définition légèrement différente, mais N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3, 1970, p. I.80, donne la définition qu'on adopte ici.
- ↑ Voir par exemple D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., 1996, p. 170.
- ↑ Par exemple D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., 1996, p. 168.
- ↑ Par exemple N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3, 1970, p. I.84.