En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Introduction aux mathématiques : Notion d'ensemble Introduction aux mathématiques/Notion d'ensemble », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définitions
Ensemble, élément
C'est une notion à la fois difficile à définir très proprement et à la fois très intuitive : on se contentera de l'intuition. Un ensemble est donc une « collection » d'objets qu'on appelle ses éléments. On note pour signifier que l'élément appartient à l’ensemble , et pour dire le contraire.
Deux ensembles et sont égaux et on écrit si et seulement si et , c'est-à-dire s’ils ont exactement les mêmes éléments.
Enfin, on note pour signifier et .
Prédicat
Soit un ensemble. On appelle prédicat sur la donnée, pour chaque élément de , d'une assertion .
Exemple :
Pour tout réel, on définit par : . C'est un prédicat sur , vrai pour 2 et faux pour 0.
Définition d'un ensemble en compréhension
On a le droit de définir l’ensemble des éléments d'un ensemble vérifiant un prédicat , on le note . On parle de définition en compréhension. Il est crucial de préciser l’ensemble d'origine des éléments . Sinon on pourrait considérer l’ensemble : a-t-on ?
Ensemble vide
Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément : en effet on considère un ensemble quelconque et l’ensemble . De plus appartient à tous les ensembles. Un tel autre ensemble vérifierait alors et , d'où l'égalité. On parle alors de l'ensemble vide.
Remarque : On a qui est donc non vide.
Définition d'un ensemble en extension
Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades. Par exemple représente l’ensemble dont les éléments sont , et .
Paire
Étant donnés deux objets et , on peut définir l’ensemble les contenant exactement : il s'agit de la paire.
Couple
Pour que l’ordre des éléments ait une importance, on définit le couple par .
On peut vérifier la proposition suivante :
Début d’un théorème
Proposition
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Démonstration
est triviale.
: , montrons que et .
Si alors et comme , on obtient aussi .
Sinon , mais alors et . Par suite et donc qui est absurde ici.
Fin de la démonstration
Produit cartésien
On appelle alors produit cartésien de deux ensembles et , l’ensemble des couples . On le note , lire « E croix F ». Ceci s'étend pour définir des triplets; des quadruplets ; des -uplets .
Opérations sur les ensembles
Différence, complémentaire
Définition : différence
On appelle différenceA et B dans cet ordre, pour deux parties d'un ensemble E, l’ensemble noté .
En particulier on définit pour une partie A d'un ensemble E son complémentaire dans E, noté ou s'il n’est pas nécessaire de préciser E.
Exercice :
Que dire de ; ; , pour ?
Intersection, réunion
Définition : intersection
On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble , lire « A inter B ».
Définition : réunion
On appelle réunion de deux ensembles A et B l’ensemble , lire « A union B ».
Exercice
Que dire de ?
Que dire de de pour ?
Faire le lien entre connecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement les propriétés suivantes :
Soient A et B deux parties d'un ensemble E.
Alors =.
On appelle différence symétrique de A et B cet ensemble qu'on note , il est formé des éléments qui sont ou bien dans A ou bien dans B.
Fin du théorème
Exercice :
Montrer que la différence symétrique est commutative et associative.
Que dire de ; de ?
Montrer que est distributive sur .
Quantificateurs
Quantificateur existentiel
On écrit pour signifier qu’il existe au moins un x élément de E tel que P(x) soit vrai.
On écrit pour signifier qu’il existe un unique x élément de E tel que P(x) soit vrai.
Quantificateur universel
On écrit pour signifier que pour tous les éléments x de E, P(x) est vrai.