Application linéaire/Exercices/Noyau et image

Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Exercice 2-1

Soient $u\in \operatorname {L} (E,F)$ et $v\in \operatorname {L} (F,G)$.

Vérifier que $v\circ u=0$ si et seulement si $\operatorname {im} u\subset \operatorname {Ker} v$.

Solution

${\begin{aligned}v\circ u=0&\Leftrightarrow \forall x\in E\quad v\left(u(x)\right)=0\\&\Leftrightarrow \forall x\in E\quad u(x)\in \ker v\\&\Leftrightarrow \forall y\in \operatorname {im} u\quad y\in \ker v.\end{aligned}}$

 

Exercice 2-2

Soient $u,v,w\in \operatorname {L} (E)$ tels que $u\circ v=w$, $v\circ w=u$ et $w\circ u=v$.

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.

Solution

• $u\circ v=w\Rightarrow \operatorname {Ker} v\subset \operatorname {Ker} w$. De même, $\operatorname {Ker} w\subset \operatorname {Ker} u$ et $\operatorname {Ker} u\subset \operatorname {Ker} v$. Les trois noyaux sont donc égaux.
• $u\circ v=w\Rightarrow \operatorname {Im} w\subset \operatorname {Im} u$. De même, $\operatorname {Im} u\subset \operatorname {Im} v$ et $\operatorname {Im} v\subset \operatorname {Im} w$. Les trois images sont donc égales.

 

Exercice 2-3

Soient $u,v\in \operatorname {L} (E)$.

1. Vérifier que $\ker v\subset \ker u\circ v$ et $\operatorname {im} v\supset \operatorname {im} v\circ u$.
2. Montrer que $\ker v=\ker u\circ v\Leftrightarrow \ker u\cap \operatorname {im} v=\{0\}$.
3. Montrer que $\operatorname {im} v=\operatorname {im} v\circ u\Leftrightarrow E=\operatorname {im} u+\ker v$.

Solution

1. $\forall x\in \ker v\quad u\circ v(x)=u\left(v(x)\right)=u(0)=0$ donc $x\in \ker u\circ v$. On a donc bien $\ker v\subset \ker u\circ v$.
   D'autre part (comme pour toutes applications de $E$ dans $E$, même non linéaires) $\operatorname {im} v\circ u=v\circ u(E)=v\left(u(E)\right)\subset v(E)=\operatorname {im} v$.
2. D'après la question 1, il reste à démontrer que $\ker u\circ v\subset \ker v\Leftrightarrow \ker u\cap \operatorname {im} v\subset \{0\}$.
   $\ker u\cap \operatorname {im} v\subset \{0\}\Leftrightarrow \forall y\in \operatorname {im} v\quad \left(u(y)=0\Rightarrow y=0\right)\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \left(u\left(v(x)\right)=0\Rightarrow v(x)=0\right)\Leftrightarrow \ker u\circ v\subset \ker v$.
3. D'après la question 1, il reste à démontrer que $\operatorname {im} v\subset \operatorname {im} v\circ u\Leftrightarrow E\subset \operatorname {im} u+\ker v$.
   $E\subset \operatorname {im} u+\ker v\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \exists y\in \operatorname {im} u\quad v(x-y)=0\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \exists z\in E\quad v\left(x-u(z)\right)=0\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \exists z\in E\quad v(x)=v\circ u(z)\Leftrightarrow \operatorname {im} v\subset \operatorname {im} v\circ u$.

 

Exercice 2-4

Soit $\varphi \in \operatorname {L} (E)$. En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :

1. la suite des noyaux des itérés de $\varphi$ est croissante et celle des images est décroissante : $\forall n\in \mathbb {N} \quad \ker \left(\varphi ^{n}\right)\subset \ker \left(\varphi ^{n+1}\right)\quad {\text{et}}\quad \operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)\supset \operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$ ;
2. s'il existe au moins un $n$ tel que $\ker \left(\varphi ^{n}\right)=\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$ alors la suite des noyaux est strictement croissante jusqu'à un certain rang $p$, puis constante à partir de ce rang ;
3. s'il existe au moins un $n$ tel que $\operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$ alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang $q$, puis constante à partir de ce rang ;
4. si les deux suites stationnent alors $E=\ker(\varphi ^{q})\oplus \operatorname {im} (\varphi ^{p})$ et $p=q$ ;
5. si $E$ est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier $p=q$ est au plus égal à $\dim(E)$.

Solution

1. Appliquer la question 1 de l'exercice précédent à $u=\varphi$ et $v=\varphi ^{n}$.
2. Soit $p$ le plus petit des entiers $n$ tels que $\ker \left(\varphi ^{n}\right)=\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$. Pour tout $n\geq p$, en prenant les images réciproques par $\varphi ^{n-p}$ des deux membres de l'égalité $\ker \left(\varphi ^{p}\right)=\ker \left(\varphi ^{p+1}\right)$, on obtient : $\ker \left(\varphi ^{n}\right)=\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$.
3. Soit $q$ le plus petit des entiers $n$ tels que $\operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$. Pour tout $n\geq q$, en prenant les images directes par $\varphi ^{n-q}$ des deux membres de l'égalité $\operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{q+1}\right)$, on obtient : $\operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$.
4. $\ker \left(\varphi ^{p+q}\right)=\ker \left(\varphi ^{p}\right)$ et $\operatorname {im} \left(\varphi ^{p+q}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)$ donc d'après les questions 2 et 3 de l'exercice précédent :
   $(1)\quad \ker \left(\varphi ^{q}\right)\cap \operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)=\{0\}$ et $(2)\quad E=\operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)+\ker \left(\varphi ^{q}\right)$,
   autrement dit : $E=\ker(\varphi ^{q})\oplus \operatorname {im} (\varphi ^{p})$.
   • Si $p\geq q$, on déduit de $(1)$ que $\ker \left(\varphi ^{q}\right)\cap \operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)=\{0\}$, c'est-à-dire $\ker \left(\varphi ^{2q}\right)=\ker \left(\varphi ^{q}\right)$, donc $p\leq q$.
   • Si $q\geq p$, on déduit de $(2)$ que $E=\operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)+\ker \left(\varphi ^{p}\right)$, c'est-à-dire $\operatorname {im} \left(\varphi ^{2p}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)$, donc $q\leq p$.

   Dans les deux cas, on peut donc conclure : $p=q$.

5. Si $E$ est de dimension finie $n$, on ne peut pas avoir $\{0\}\subsetneq \ker \left(\varphi \right)\subsetneq \ker \left(\varphi ^{2}\right)\subsetneq \dots \subsetneq \ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$, car $\dim \left(\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)\right)\leq n$. Donc la suite des noyaux stationne à partir d'un rang $p\leq n$. On démontre de même que la suite des images stationne à partir d'un rang $q\leq n$.