Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n)

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Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur $\mathbb {Q}$ des nombres, les polynômes minimaux sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ ou $\mathbb {Q} ({{\sqrt {d}}_{1}},{{\sqrt {d}}_{2}})$ (ou sur $\mathbb {Q}$ lorsque rien n'est précisé) de quelques nombres de la forme

$\tan(k\pi /n)$ pour $0<k<n$ et k premier avec n.

Remarquons que contrairement à $2\cos(r\pi )$, le nombre algébrique $2\tan(r\pi )$ n'est pas toujours un entier algébrique : Niven donne l'exemple de $2\tan(\pi /6)$ et Calcut ajoute l'exemple $2\tan(\pi /50)$, dont il explicite le polynôme minimal. D'autres exemples sont $2\tan(\pi /n)$ pour $n=10,14,18,22$.

Degré de tan(rπ)

Par des calculs de degrés d'extensions, on sait que le degré (sur $\mathbb {Q}$) de $\tan(k\pi /n)$, si n est > 2 et ≠ 4 et k premier avec n, vaut :

• $\varphi (n)$ si n n'est pas divisible par 4 ;
• ${\frac {\varphi (n)}{2}}$ si n est divisible par 4,

où $\varphi$ est l'indicatrice d'Euler.

Degré de $\tan(k\pi /n)$ pour 3 ≤ n ≤ 143

n =	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0+				2	1	4	2	6	2	6	4	10
12+	2	12	6	8	4	16	6	18	4	12	10	22
24+	4	20	12	18	6	28	8	30	8	20	16	24
36+	6	36	18	24	8	40	12	42	10	24	22	46
48+	8	42	20	32	12	52	18	40	12	36	28	58
60+	8	60	30	36	16	48	20	66	16	44	24	70
72+	12	72	36	40	18	60	24	78	16	54	40	82
84+	12	64	42	56	20	88	24	72	22	60	46	72
96+	16	96	42	60	20	100	32	102	24	48	52	106
108+	18	108	40	72	24	112	36	88	28	72	58	96
120+	16	110	60	80	30	100	36	126	32	84	48	130
132+	20	108	66	72	32	136	44	138	24	92	70	120

Polynôme minimal de tan(kπ/n)

Cas n non divisible par 4

Dans ce premier cas, il est très facile de déduire le polynôme minimal de $\tan(k\pi /n)$ de celui de $\cos(2k\pi /n)$, en utilisant l'identité $\cos 2\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$. On construit ainsi un polynôme unitaire $\Psi _{n}(X)\in \mathbb {Q} [X]$ de degré $\varphi (n)$ ayant pour racines les $\varphi (n)$ nombres $\tan(k\pi /n)$, pour k premier avec n et $0<k<n$ (ou $-n/2<k<n/2$). Vu le degré de ces nombres, $\Psi _{n}$ est leur polynôme minimal.

Début de l'exemple

Exemple : n = 11

$\varphi (11)=10$ et le polynôme minimal des 10 nombres $\pm \tan(k\pi /11)$ ($1\leq k\leq 5$) se déduit de celui de $\cos(2\pi /11)$ qui, d'après les deux chapitres précédents, est

$C_{11}(X)=X^{5}+{\frac {1}{2}}X^{4}-X^{3}-{\frac {3}{8}}X^{2}+{\frac {3}{16}}X+{\frac {1}{32}}$.

Les 10 nombres en question ont pour polynôme minimal commun :

$\Psi _{11}(X)=-32\left(1+X^{2}\right)^{5}C_{11}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)=X^{10}-55X^{8}+330X^{6}-462X^{4}+165X^{2}-11$.

Détail des calculs

$C_{11}(X)=2^{-5}\left[(2X)^{5}+(2X)^{4}-4(2X)^{3}-3(2X)^{2}+3(2X)+1\right]=X^{5}+{\frac {1}{2}}X^{4}-X^{3}-{\frac {3}{8}}X^{2}+{\frac {3}{16}}X+{\frac {1}{32}}$.

${\begin{aligned}\left(1+X^{2}\right)^{5}C_{11}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)&=\left(1-X^{2}\right)^{5}+{\frac {1}{2}}\left(1-X^{2}\right)^{4}\left(1+X^{2}\right)-\left(1-X^{2}\right)^{3}\left(1+X^{2}\right)^{2}-{\frac {3}{8}}\left(1-X^{2}\right)^{2}\left(1+X^{2}\right)^{3}+{\frac {3}{16}}\left(1-X^{2}\right)\left(1+X^{2}\right)^{4}+{\frac {1}{32}}\left(1+X^{2}\right)^{5}\\&=1-5X^{2}+10X^{4}-10X^{6}+5X^{8}-X^{10}\\&+{\frac {1}{2}}\left(1-3X^{2}+2X^{4}+2X^{6}-3X^{8}+X^{10}\right)\\&-\left(1-X^{2}-2X^{4}+2X^{6}+X^{8}-X^{10}\right)\\&-{\frac {3}{8}}\left(1+X^{2}-2X^{4}-2X^{6}+X^{8}+X^{10}\right)\\&+{\frac {3}{16}}\left(1+3X^{2}+2X^{4}-2X^{6}-3X^{8}-X^{10}\right)\\&+{\frac {1}{32}}\left(1+5X^{2}+10X^{4}+10X^{6}+5X^{8}+X^{10}\right)\\&=X^{10}(-1+1/2+1-3/8-3/16+1/32)\\&+X^{8}(5-3/2-1-3/8-9/16+5/32)\\&+X^{6}(-10+1-2+3/4-3/8+5/16)\\&+X^{4}(10+1+2+3/4+3/8+5/16)\\&+X^{2}(-5-3/2+1-3/8+9/16+5/32)\\&+1+1/2-1-3/8+3/16+1/32\\&=X^{10}(-1/32)+X^{8}(55/32)+X^{6}(-165/16)+X^{4}(231/16)+X^{2}(-165/32)+11/32\\&=-{\frac {1}{32}}\left(X^{10}-55X^{8}+330X^{6}-462X^{4}+165X^{2}-11\right)\end{aligned}}$

 

Fin de l'exemple

Cas n divisible par 4

Dans ce second cas $n=4m$, le degré des $\tan(k\pi /n)$ est moitié moindre donc le polynôme $\Psi _{n}$ calculé précédemment n'est plus irréductible :

$\Psi _{n}=\Psi _{n,+}\times \Psi _{n,-}$,

les deux facteurs irréductibles étant liés par

$\Psi _{n,-}(X)=(-1)^{\varphi (n)/2}\Psi _{n,+}(-X)$

et déterminés de la façon suivante.

Les $\varphi (n)$ angles $\theta ={\frac {k\pi }{n}}{\pmod {\pi }}$ considérés vérifient toujours $C_{n}(\cos(2\theta ))=0$, mais aussi (k étant premier avec 4m donc impair) $\sin(2m\theta )=\sin(k\pi /2)=(-1)^{(k-1)/2}$. Parmi eux, la moitié — ceux pour lesquels $k\equiv 1{\bmod {4}}$ — vérifient $\sin(2m\theta )=1$ (les autres — leur opposés — vérifiant donc $\sin(2m\theta )=-1$). Or $\sin(2m\theta )$ s'exprime en fonction de $t=\tan \theta$ à l'aide d'un polynôme de Tchebychev de seconde espèce :

$\sin(2m\theta )=\sin(2\theta )U_{m-1}\left(\cos(2\theta )\right)={\frac {2t}{1+t^{2}}}U_{m-1}\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)$

Leur polynôme minimal est donc le PGCD de polynômes :

$\Psi _{n,+}(X)=\operatorname {PGCD} \left(\Psi _{n}(X),2X(1+X^{2})^{m-1}U_{m-1}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)-(1+X^{2})^{m}\right)$.

Début de l'exemple

Exemples : n = 8 et n = 12

• $n=8,\quad m=2$.

  $C_{8}(X)=2^{-2}\left[(2X)^{2}-2\right]=X^{2}-{\frac {1}{2}}$.

  ${\begin{aligned}\Psi _{8}(X)&=2\left(1+X^{2}\right)^{2}C_{8}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)\\&=2(1-X^{2})^{2}-(1+X^{2})^{2}\\&=X^{4}-6X^{2}+1.\end{aligned}}$

  ${\begin{aligned}2X(1+X^{2})U_{1}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)-(1+X^{2})^{2}&=4X(1-X^{2})-(1+X^{2})^{2}\\&=-X^{4}-4X^{3}-2X^{2}+4X-1.\end{aligned}}$

  ${\begin{aligned}\Psi _{8,+}(X)&=\operatorname {PGCD} \left(\Psi _{8}(X),-X^{4}-4X^{3}-2X^{2}+4X-1\right)\\&=X^{2}+2X-1.\end{aligned}}$

  Le polynôme minimal de $\tan(k\pi /8)$ est donc $X^{2}+2X-1$ si $k=1$ ou $-3$, et $X^{2}-2X-1$ si $k=-1$ ou $3$. On peut vérifier que $(X^{2}+2X-1)(X^{2}-2X-1)=\Psi _{8}(X)$.

• $n=12,\quad m=3$.

  $C_{12}(X)=2^{-2}\left[(2X)^{2}-3\right]=X^{2}-{\frac {3}{4}}$.

  ${\begin{aligned}\Psi _{12}(X)&=4\left(1+X^{2}\right)^{2}C_{12}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)\\&=4(1-X^{2})^{2}-3(1+X^{2})^{2}\\&=X^{4}-14X^{2}+1.\end{aligned}}$

  ${\begin{aligned}2X(1+X^{2})^{2}U_{2}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)-(1+X^{2})^{3}&=2X[4(1-X^{2})^{2}-(1+X^{2})^{2}]-(1+X^{2})^{3}\\&=-X^{6}+6X^{5}-3X^{4}-20X^{3}-3X^{2}+6X-1.\end{aligned}}$

  ${\begin{aligned}\Psi _{12,+}(X)&=\operatorname {PGCD} \left(\Psi _{12}(X),-X^{6}+6X^{5}-3X^{4}-20X^{3}-3X^{2}+6X-1\right)\\&=X^{2}-4X+1.\end{aligned}}$

  Le polynôme minimal de $\tan(k\pi /12)$ est donc $X^{2}-4X+1$ si $k=1$ ou $5$, et $X^{2}+4X+1$ si $k=-1$ ou $-5$. On peut vérifier que $(X^{2}-4X+1)(X^{2}+4X+1)=\Psi _{12}(X)$.

Fin de l'exemple

Liste exhaustive jusqu'au degré 12

Nous éviterons les redondances dans la liste ci-dessous, en remarquant que si

$X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\dots +a_{0}$ est le polynôme minimal sur K de $\tan(k\pi /n)$,

alors

• celui de son opposé, $\tan {\frac {(n-k)\pi }{n}}$, est

  $X^{m}-a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\dots +(-1)^{m}a_{0}$ ;

• celui de son inverse, $\tan {\frac {(n-2k)\pi }{2n}}$, est

  ${\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {a_{m-1}}{a_{0}}}X+{\frac {a_{m-2}}{a_{0}}}X^{2}+\dots +X^{m}$.

Le cas $n=2n'$ avec $n'$ impair se ramène ainsi au cas $n=n'$.

Nombres rationnels

Le polynôme minimal de $\tan {\frac {\pi }{4}}$ est $X-1$.

Irrationnels quadratiques

$n=3,6,8,12$.

$X^{2}-3$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan {\frac {\pi }{3}}$ et son opposé.	$X^{2}+2X-1$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan {\frac {\pi }{8}}$ et l'opposé de son inverse.
$X^{2}-4X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan {\frac {\pi }{12}}$ et son inverse.

Nombres de degré 4

$n=5,10,16,20,24$.

$X^{4}-10X^{2}+5$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan {\frac {\pi }{5}},\quad \tan {\frac {2\pi }{5}}$ et leurs opposés.
$X^{2}+2X(1+{\sqrt {2}})-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ des nombres : $\tan {\frac {\pi }{16}}$ et l'opposé de son inverse.	$X^{2}-2X(1-{\sqrt {2}})-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ des nombres : $\tan {\frac {3\pi }{16}}$ et l'opposé de son inverse.
$X^{4}-4X^{3}-14X^{2}-4X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan {\frac {\pi }{20}},\quad \tan {\frac {13\pi }{20}}$ et leurs inverses.	$X^{4}+8X^{3}+2X^{2}-8X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan {\frac {\pi }{24}},\quad \tan {\frac {5\pi }{24}},\quad \tan {\frac {13\pi }{24}},\quad \tan {\frac {17\pi }{24}}$.

Nombres de degré 6

$n=7,9,14,18,28,36$.

$X^{3}+X^{2}{\sqrt {7}}-7X+{\sqrt {7}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {7}})$ des nombres : $\tan {\frac {2^{k}\pi }{7}},\quad k=0,1,2$.	$X^{3}-3X^{2}{\sqrt {3}}-3X+{\sqrt {3}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ des nombres : $\tan {\frac {4^{k}\pi }{9}},\quad k=0,1,2$.
$X^{3}-(4-{\sqrt {7}})X^{2}-(11-4{\sqrt {7}})X+8-3{\sqrt {7}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {7}})$ des nombres : $\tan {\frac {9^{k}\pi }{28}},\quad k=0,1,2$.	$X^{3}-3(2-{\sqrt {3}})X^{2}-3X+2-{\sqrt {3}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ des nombres : $\tan {\frac {13^{k}\pi }{36}},\quad k=0,1,2$.

Nombres de degré 8

$X^{4}-6X^{3}{\sqrt {3}}+8X^{2}+2X{\sqrt {3}}-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ des nombres : $\tan {\frac {7^{k}\pi }{15}},\quad k=0,1,2,3$.

n=32,40,48,60 Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

Nombres de degré 10

$n=11,22,44$

$X^{5}-3X^{4}{\sqrt {11}}+22X^{3}-2X^{2}{\sqrt {11}}-11X+{\sqrt {11}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} \left({\sqrt {11}}\right)$ des nombres : $\tan {\frac {3^{k}\pi }{11}},\quad k=0,1,2,3,4$.

n=44 Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

Nombres de degré 12

$n=13,21,26,42,52,56,72,84$.

$(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})x^{3}+x^{2}-(2{\sqrt {7}}+{\sqrt {3}})x+1$ est (à un facteur près) le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})$ des nombres : $\tan {\frac {4^{k}\pi }{21}},\quad k=0,1,2$.	$(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})x^{3}+x^{2}-(2{\sqrt {7}}-{\sqrt {3}})x+1$ est (à un facteur près) le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})$ des nombres : $\tan {\frac {2\times 4^{k}\pi }{21}},\quad k=0,1,2$.
n=13,52,56,72,84 Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

Exemples de nombres de degré 20

$X^{5}-5X^{4}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}-10X^{3}+10X^{2}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+5x-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} \left({\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\right)$ des nombres : $\tan {\frac {6^{k}\pi }{25}},\quad k=0,1,2,3,4$.

$X^{5}-5X^{4}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-10X^{3}+10X^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+5X-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} \left({\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\right)$ des nombres : $\tan {\frac {2\times 6^{k}\pi }{25}},\quad k=0,1,2,3,4$.

Lien externe

Jack S. Calcut, « Rationality and the Tangent Function », sur Oberlin College