Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 2-1

ƒ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)=x^{3}-4x+5$.

Le but de l'exercice est de démontrer l’existence d'une solution à l'équation $f(x)=8$.

1. Justifier la continuité de ƒ sur $[-2;3]$.

2. Calculer $f(-2)$ , $f(3)$, les comparer à 8.

3. Conclure.

Solution

1. f est une fonction polynôme, elle est donc continue (voir cours)

2. Calculons les images demandées : ${\begin{aligned}f(-2)&=(-2)^{3}-4\times (-2)+5\\&=-8+8+5\\&=5\end{aligned}}$

et : ${\begin{aligned}f(3)&=3^{3}-4\times 3+5\\&=20\end{aligned}}$

Donc $f(-2)<8<f(3)$

3. Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe (au moins) un réel $x\in [-2;3]$ vérifiant l'équation : $f(x)=8$.

Remarque

En réalité il y a 3 solutions : $x=-1~,~x={\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}~{\rm {et}}~x={\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}$

 

Exercice 2-2

ƒ est définie et continue sur $I=[-4;1]$ par $f:x\mapsto x^{3}+6x^{2}+9x+3$

Le tableau de variations de ƒ est le suivant : ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-4&&-3&&-1&&1\\\hline &&&3&&&&19\\f&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &\\&-1&&&&-1&&\\\hline \end{array}}$

On admettra que les variations représentées sont strictes, c'est-à-dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur les intervalles représentés.

1. En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$ dans I.

2. a. Justifier que l'équation $f(x)=4$ admet une solution unique, α, dans l'intervalle I.

b. Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).

c. Déterminer une valeur approchée par excès de α au millième près (en justifiant votre réponse).

3. On admet que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique β dans [-3 ; -1]. Déterminer un encadrement de β à 10^-2 près (en justifiant la réponse).

Solution

1.

• ƒ est strictement croissante sur [-4 ; -3], à valeurs dans [-1 ; 3] contenant 2. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation $f(x)=2$ admet une solution unique dans [-4 ; -3] ;
• ƒ est strictement décroissante sur [-3 ; 1], donc le même théorème assure que l'équation $f(x)=2$ admet aussi une solution unique sur [-3 ; 1] ;
• ƒ est strictement croissante sur [-1 ; 1], à valeurs dans [-1 ; 19] qui contient 2 donc, d’après le même théorème, l'équation $f(x)=2$ admet une solution unique dans [-1 ; 1].

Conclusion : L'équation $f(x)=2$ admet exactement 3 solutions dans [-4 : 1].

2. a. Nombre de solutions de l'équation $f(x)=4$ : ƒ admet en -3 un maximum égal à 3 sur l'intervalle [-4 ; -1] donc 4 n'a pas d'antécédent dans cet intervalle, l'équation $f(x)=4$ n'admet donc pas de solution sur [-4 ; -1].

Sur [-1 ; 1], ƒ est strictement croissante et prend ses valeurs dans [-1 ; 19]. Or, 4 ∈ [-1 ; 19]. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation $f(x)=4$ admet une solution unique dans [-1 ; 1].

Conclusion : L'équation $f(x)=4$ admet une solution unique α dans [-4 ; 1].

b. D'après la question précédente, α ∈ [-1 ; 1]. Or, ƒ(0) = 3 donc 3 < 4 < 19, c'est-à-dire ƒ(0) < 4 < ƒ(1).

Conclusion : α ∈ [0 ; 1] (encadrement de α par deux entiers consécutifs)

c. Valeur approchée par excès de α au millième près :

• encadrement au dixième près :

ƒ(0,1) ≈ 3,961 et ƒ(0,2) ≈ 5,048 donc ƒ(0,1) < 4 < ƒ(0,2), car ƒ est strictement croissante

donc 0,1 < α < 0,2

• encadrement au centième près :

ƒ(0,10) ≈ 3,961 et ƒ(0,11) ≈ 4,063 donc ƒ(0,10) < 4 < ƒ(0,11), car ƒ est strictement croissante

donc 0,10 < α < 0,11

• encadrement au millième près :

ƒ(0,103) ≈ 3,992 et ƒ(0,104) ≈ 4,002

or ƒ(0,103) < 4 < ƒ(0,104) et 0,103 < α < 0,104

donc 0,103 < α < 0,104 encadrement au millième près de α

Conclusion : α ≈ 0,104 (valeur approchée par excès au millième)

3. β solution de l'équation $f(x)=0$ (encadrement à 10^-2 près) avec β ∈ [-3 ; 1].

Sur [-3 ; -1], ƒ est décroissante, donc si ƒ(x) > 0 alors x < β et si ƒ(x) < 0 alors x > β.

• à l'entier près : ƒ(-2) = 1 et ƒ(-1) = -1 donc ƒ(-2) > 0 > ƒ(-1)
• au dixième près : ƒ(-1,7) ≈ 0,127 et ƒ(-1,6) ≈ -0,136

donc ƒ(-1,7) > 0 > ƒ(-1,6)

soit -1,7 < β < -1,6 (à 10^-1 près)

• au centième près : ƒ(-1,66) ≈ 0,019 et ƒ(-1,65) ≈ -0,07

donc ƒ(-1,66) > 0 > ƒ(-1,65)

Conclusion : -1,66 < β < -1,65, encadrement à 10^-2 près de β.