Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan

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La fonction arc tangente

Définition

La fonction tangente étant strictement croissante et continue sur $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$, et de limites infinies aux bornes, à chaque réel $b$ correspond un unique nombre $a$ de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ tel que :

$\tan(a)=b$.

On note :

$a=\arctan(b)$

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de arctan sur $\mathbb {R}$. Elle se déduit de celle de tangente par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère.

Variations

Propriété

La fonction arctan est strictement croissante sur $\mathbb {R}$.

Tableau de variation

x	$-\infty$ $+\infty$
$\arctan$	$+{\frac {\pi }{2}}$ $\nearrow$ $-{\frac {\pi }{2}}$

Dérivée

Début d’un théorème

Théorème

La fonction arctan est dérivable sur $\mathbb {R}$ et sa dérivée vaut :

$\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$.

Fin du théorème

Démonstration

Appliquons le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque aux bijections $f=\tan :\left]-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right[\to \mathbb {R}$ et $f^{-1}=\arctan :\mathbb {R} \to \left]-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Puisque

$\forall y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \tan '(y)=1+\tan ^{2}y\neq 0$,

la fonction $\arctan$ est dérivable et

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \arctan '(x)={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan(x))}}={\frac {1}{1+x^{2}}}$.

 

Somme de deux arctan

Début d’un théorème

Théorème

Si $xy\neq 1$,

$\arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi$

où

$k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1,\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}$

Fin du théorème

Démonstration

Supposons $xy\neq 1$ et posons $a=\arctan x,b=\arctan y$ et calculons la tangente de la somme :

$\tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}={\frac {x+y}{1-xy}}.$

Il suffit pour conclure de remarquer que

$a+b\in {\begin{cases}\left]-\pi /2,\pi /2\right[&{\text{si }}xy<1,\\\left]\pi /2,\pi \right[&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\\left]-\pi ,-\pi /2\right[&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}$