En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Lever une indétermination Limites d'une fonction/Exercices/Lever une indétermination », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Factoriser
1.f est la fonction définie sur par pour tout .
a. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers .
b. Démontrer que pour tout réel , .
c. En déduire la limite de f en .
2.g est la fonction définie sur par :
pour tout .
a. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers .
b. Démontrer que pour tout réel x, .
c. En déduire la limite de f en .
Solution
Question 1.a
On a donc affaire à la forme indéterminée « »
Question 1.b
Pour tout
Pour tout
Question 1.c
donc
On a donc
Question 2.a
On a donc affaire à la forme indéterminée
Question 2.b
Pour tout
Pour tout
Question 2.c
et
On a donc
Utiliser l’expression conjuguée
g est la fonction définie sur par :
.
Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers .
Multiplier et diviser par son expression conjuguée .
Démontrer que pour tout réel :
.
En déduire la limite de g en .
Solution
1.
. On pose . . Donc .
. On pose :. Donc .
On se trouve donc face à la forme indéterminée « ».
2. Pour tout :
Donc pour tout , .
3. Pour tout :
Donc pour tout , .
4.
. On pose . . Donc .
. On pose . . Donc .
.
Donc .
Déterminer les limites en de :
;
.
Solution
Pour tout , donc .
Pour tout , donc.
Pour tout , donc (d'après la question précédente) .
Simplifier
ƒ est la fonction définie sur par pour tout .
Quelle est la limite en 2 de la fonction ? Peut-on donner directement la limite de ƒ en 2 ?
Démontrer que pour tout réel x de D,
En déduire la limite de ƒ en 2.
Solution
1. Quelle est la limite en 2 de la fonction ?
On trouve sans difficulté
Peut-on donner directement la limite de ƒ en 2 ?
Si on étudie la limite du dénominateur de ƒ, on trouve également .
On est donc face à une forme indéterminée du type .
2. Démontrer que pour tout réel
Pour résoudre cette question, il faut se souvenir que, lorsqu'une fonction polynomiale s'annule en un réel α, son expression se factorise par x-α.
Une fois cette propriété en tête, on peut aisément factoriser le numérateur : pour tout
Si vous ne savez plus comment faire cette manipulation, allez consulter le cours correspondant.
Il est alors facile de conclure : pour tout
Donc, pour tout réel
3. En déduire la limite de ƒ en 2.
La forme indéterminée est levée avec cette nouvelle écriture.
Reconnaître un taux de variation
g est la fonction définie sur par pour tout .
Donner la limite en 0 de chacune des fonctions .
Peut-on alors donner directement la limite de g en 0 ?
Reconnaître que l’expression de est un taux de variation de la fonction cos. En déduire la limite de g en 0.
Solution
1. Donner la limite en 0 de chacune des fonctions .
et
2. Peut-on alors donner directement la limite de g en 0 ?
On est en face d'une forme indéterminée du type .
3. Reconnaître que l’expression de est un taux de variation de la fonction cos. En déduire la limite de g en 0.
Si vous ne savez plus l’expression d'un taux de variation, allez consulter le cours correspondant.
Soient et deux fonctions définies sur et dérivables en . Démontrer que si et , alors .
Appliquer cette règle pour calculer et .
Solution
Remarquons d'abord que pour assez proche de , est non nul car , puisque quand , cette quantité a pour limite (pour une formalisation de cet argument à un niveau plus avancé, voir Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre). On peut alors écrire le quotient et le transformer : . Puisque (par définition du nombre dérivé) quand , le numérateur tend vers et le dénominateur vers , la limite du quotient est bien .
Pour la première limite, on pose et , et l'on a donc , et . On en déduit que . Pour la seconde, on pose et , et l'on a donc , et . On en déduit que .