Limites d'une fonction/Opérations sur les limites

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Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a ou dont a est une borne.

« FI » signifie que la forme est indéterminée. Il faut transformer l'écriture de la fonction pour trouver une forme qui permet de calculer la limite.

Limite d'une somme

${\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l{\text{ ou }}+\infty &l{\text{ ou }}-\infty &+\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty &-\infty &-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f+g)}&l+l'&+\infty &-\infty &\color {Red}{\text{FI}}\\\hline \end{array}}$

Limite d'un produit

${\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l\not =0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty {\text{ ou }}-\infty &+\infty {\text{ ou }}-\infty &+\infty {\text{ ou }}-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f\times g)}&l\times l'&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }&\color {Red}{\text{FI}}\\\hline \end{array}}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera à la règle des signes.

Limite d'un quotient

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l&+\infty {\text{ ou }}-\infty &0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &l\not =0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'\not =0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &l'\not =0&0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}{\frac {f}{g}}}&\displaystyle {\frac {l}{l'}}&0&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }&\color {Red}{\text{FI}}&\color {Red}{\text{FI}}&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }\\\hline \end{array}}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera, comme précédemment, à la règle des signes.

Limite de la composée

Cette section nécessite des connaissances sur la composition des fonctions. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Les lettres a, b et c désignent chacune soit un nombre réel, soit $+\infty$, soit $-\infty$.

Soit la fonction composée $g\circ f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$, ou dont $a$ est une borne.

${\text{Si}}\quad \lim _{x\to a}f(x)=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=c$.

Interprétation schématique

${\begin{array}{ccccc}I&{\overset {f}{\longrightarrow }}&J&{\overset {g}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} \\a&\to &{\underset {x\to a}{\lim }}f(x)&&\\&&\shortparallel &&\\&&b&\to &{\underset {y\to b}{\lim }}g(y)\\&&&&\shortparallel \\&&&&c\\\end{array}}$

Exemple de la racine carrée

${\begin{array}{c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l>0&+\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}{\sqrt {f}}}&{\sqrt {l}}&+\infty \\\hline \end{array}}$

Rédaction à tenir

Prenons un premier exemple :

Début de l'exemple

Exemple

On recherche la limite de la fonction $x\mapsto {\sqrt {2+{\frac {1}{x}}}}$ en $+\infty$.

Fin de l'exemple

Début d’un principe

Méthode pour la limite d'une composée

Pour trouver la limite d'une composée, il faut procéder en plusieurs temps pour procéder proprement.

• Tout d’abord, on isole les différentes fonctions en jeu dans la composition. Ici, il s'agit des fonctions $x\mapsto 2+{\frac {1}{x}}$ et de la fonction racine carrée :
• On donne un nom au terme le plus « à l'intérieur » de la composition. Ici, il s'agit de $2+{\frac {1}{x}}$. Appelons-le X.

${\begin{array}{ccccc}x&\mapsto &\displaystyle {2+{\frac {1}{x}}}&&\\~&~&X&\mapsto &{\sqrt {X}}={\sqrt {2+{\frac {1}{x}}}}\end{array}}$

• On commence par étudier la limite du terme le plus à l'intérieur.

$\lim _{x\to +\infty }\color {blue}2+{\frac {1}{x}}\color {black}=\color {red}2$

• Lorsqu'on fait tendre x vers $+\infty$, la grandeur $2+{\frac {1}{x}}$ tend vers 2, c'est-à-dire que X tend vers 2.
• On procède ensuite à la deuxième étape : on applique à X la deuxième fonction, ici la racine carrée. On cherche alors à savoir vers quoi tend ${\sqrt {X}}$ lorsque X tend vers 2.

$\lim _{\color {blue}X\color {black}\to \color {red}2}X={\sqrt {2}}$

• La combinaison de ces deux étapes donne bien le résultat global :
  • Le fait de prendre la limite quand X tend vers 2 ou quand x tend vers $+\infty$ revient au même (cf première étape)
  • Il suffit de remplacer X par son expression en x pour revenir à l'écriture de départ

$\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {2+{\frac {1}{x}}}}={\sqrt {2}}$

Fin du principe

Deuxième exemple

Appliquons cette méthode dans le cas suivant :

Début de l'exemple

Exemple

On recherche la limite de la fonction $x\mapsto {\sqrt {2+{\frac {1}{x}}}}$ en 0⁺.

• $\lim _{x\to 0^{+}}\color {blue}2+{\frac {1}{x}}\color {black}=\color {red}+\infty$
• On pose $X=2+{\frac {1}{x}}$
• $\lim _{\color {blue}X\color {black}\to \color {red}+\infty }{\sqrt {X}}=+\infty$

Donc $\lim _{x\to 0^{+}}{\sqrt {2+{\frac {1}{x}}}}=+\infty$

Fin de l'exemple

Troisième exemple

Début de l'exemple

Exemple

On recherche la limite de la fonction $]1,+\infty [\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto \ln \left({\frac {x}{x-1}}\right)$ en $1^{+}$.

Fin de l'exemple

On peut schématiser le problème par :

${\begin{array}{ccccc}x&\to &{\cfrac {x}{x-1}}&&\\&&\shortparallel &&\\&&y&\to &\ln y\\1^{+}&\to &+\infty &\to &+\infty \end{array}}$

Plus formellement :

• $\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty$ ;
• $\lim _{y\to +\infty }\ln y=+\infty$.

Par composition de limites : $\lim _{x\to 1^{+}}\ln \left({\frac {x}{x-1}}\right)=+\infty$.