Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines

Exercice 2-1

Soit l'équation :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~$

1 - Donner les conditions nécessaires et suffisantes portant sur les coefficients de l'équation pour que celle-ci admette une racine double α et une racine double β.

2 - Donner alors une équation du second degré dont α et β sont racines.

Solution

1 - Le polynôme $aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e$ (avec $a\neq 0$) a deux racines doubles si et seulement s'il est le carré d'un polynôme du second degré, à produit près par une constante, c'est-à-dire s'il existe $S,P$ tels que

$aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e=a(X^{2}-SX+P)^{2}$,

ce qui (en développant) s'écrit :

${\begin{cases}S&=-{\frac {b}{2a}}\\S^{2}+2P&={\frac {c}{a}}\\PS&=-{\frac {d}{2a}}\\P^{2}&={\frac {e}{a}}.\end{cases}}$

Premier cas : $b\neq 0$.

Compte tenu de la première équation, la troisième se réécrit alors :

$P={\frac {d}{b}}$.

En reportant dans les deuxième et quatrième équations les valeurs de S et P données par la première et la troisième, on obtient les conditions recherchées (conditions d'existence d'une solution $(S,P)$ du système des quatre équations) :

${\begin{cases}\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+2{\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}\\\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {e}{a}}\end{cases}}$

qui après simplification sont équivalentes à :

${\begin{cases}b^{3}+8a^{2}d=4abc\\b^{2}=4ae.\end{cases}}$

En portant b² de la deuxième équation dans la première, ceci équivaut à :

${\begin{cases}4abe+8a^{2}d=4abc\\b^{2}=4ae.\end{cases}}$

Après simplification de la première équation par 4a, les conditions sont finalement :

${\begin{cases}2ad=b(c-e)\\b^{2}=4ae.\end{cases}}$

Second cas : $b=0$.

Le système initial

${\begin{cases}S&=-{\frac {b}{2a}}\\S^{2}+2P&={\frac {c}{a}}\\PS&=-{\frac {d}{2a}}\\P^{2}&={\frac {e}{a}}\end{cases}}$

est alors équivalent à

${\begin{cases}S&=0\\2P&={\frac {c}{a}}\\0&=-{\frac {d}{2a}}\\P^{2}&={\frac {e}{a}}\end{cases}}$

donc les conditions recherchées (conditions d'existence d'une solution $(S,P)$) sont :

${\begin{cases}d&=0\\c^{2}&=4ae.\end{cases}}$

2 - D'après la question précédente, α et β sont alors racines :

• si $b\neq 0$ : de $x^{2}+{\frac {b}{2a}}x+{\frac {d}{b}}=0$ (ou encore : $2abx^{2}+b^{2}x+2ad=0$) ;
• si $b=0$ : de $x^{2}+{\frac {c}{2a}}=0$.

 

Exercice 2-2

Soit l'équation :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$.

Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients $a,b,c,d,e$ pour que l'une des racines de l'équation soit la moyenne arithmétique des trois autres.

Solution

Les racines $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ de l'équation doivent vérifier (à renumérotation près) $x_{4}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}$, ce qui équivaut à :

${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}$ est égal à l'une des quatre racines,

ou encore :

$a\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+b\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+c\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+d\left(-{\frac {b}{4a}}\right)+e=0$,

c'est-à-dire :

$-3b^{4}+16ab^{2}c-64a^{2}bd+256a^{3}e=0$.

 

Exercice 2-3

Soit l'équation :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$.

Dans le cours, nous avons posé :

$\Psi =2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace$.

Montrez que $\Psi$ est nul si et seulement si les quatre racines $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ de l'équation vérifient l'une des trois relations suivantes :

$x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}={\frac {(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})}{2}}$ ;

$x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}={\frac {(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})}{2}}$ ;

$x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}={\frac {(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})}{2}}$.

Solution

Première approche

Notons $a_{1},a_{2},a_{3}$ les membres de gauche de ces trois relations, et $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ leurs polynômes symétriques élémentaires. Les membres de droite sont alors : $b_{1}={\frac {a_{2}+a_{3}}{2}}$, $b_{2}={\frac {a_{1}+a_{3}}{2}}$ et $b_{3}={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}$ donc l'une des trois relations est vérifiée si et seulement si l'un des $a_{i}$ est égal à la moyenne arithmétique des deux autres, c'est-à-dire (cf. exercice 2-6 de la leçon sur l'équation du troisième degré) si et seulement si

$-2\sigma _{1}^{3}+9\sigma _{1}\sigma _{2}-27\sigma _{3}=0$.

Or les $\sigma _{i}$ sont des polynômes symétriques en les $x_{i}$ donc (cf. cours) s'expriment en fonction des coefficients de l'équation de départ, via les $S_{i,j,k,l}$ (polynômes symétriques en les $x_{i}$ introduits lors de la preuve de ce théorème, et dont certains sont calculés dans l'exercice 2-5 ci-dessous) :

• $\sigma _{1}=S_{1,1,0,0}={\frac {c}{a}}$ ;
• $\sigma _{2}=S_{2,1,1,0}=\left(-{\frac {b}{a}}\right)\left(-{\frac {d}{a}}\right)-4{\frac {e}{a}}={\frac {bd-4ae}{a^{2}}}$ ;
• $\sigma _{3}=S_{3,1,1,1}+S_{2,2,2,0}$, avec
  • $S_{3,1,1,1}={\frac {e}{a}}S_{2,0,0,0}={\frac {e}{a}}\left(\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-2{\frac {c}{a}}\right)={\frac {e(b^{2}-2ac)}{a^{3}}}$,
  • $S_{2,2,2,0}=\left(-{\frac {d}{a}}\right)^{2}-2{\frac {e}{a}}{\frac {c}{a}}={\frac {d^{2}-2ec}{a^{2}}}$

  donc

  $\sigma _{3}={\frac {e(b^{2}-2ac)+a(d^{2}-2ec)}{a^{3}}}={\frac {b^{2}e-4ace+ad^{2}}{a^{3}}}$.

Enfin :

$-2\sigma _{1}^{3}+9\sigma _{1}\sigma _{2}-27\sigma _{3}={\frac {-2c^{3}+9c(bd-4ae)-27(b^{2}e-4ace+ad^{2})}{a^{3}}}=-{\frac {\Psi }{a^{3}}}$

est bien nul si et seulement si $\Psi$ l'est.

Deuxième approche

Notons $b_{1},b_{2},b_{3}$ les membres de droite des trois relations, et $\sigma '_{1},\sigma '_{2},\sigma '_{3}$ leurs polynômes symétriques élémentaires. Les membres de gauche sont alors : $a_{1}=b_{2}+b_{3}-b_{1}$, $a_{2}=b_{1}+b_{3}-b_{2}$ et $a_{3}=b_{1}+b_{2}-b_{3}$ donc, à nouveau, l'une des trois relations est vérifiée si et seulement si l'un des $b_{i}$ est égal à la moyenne arithmétique des deux autres. Puisque $a_{i}=\sigma _{1}-2b_{i}$, cette condition est équivalente à « l'un des $a_{i}$ est égal à la moyenne arithmétique des deux autres ». On peut d'ailleurs remarquer que

$-2{\sigma '_{1}}^{3}+9\sigma '_{1}\sigma '_{2}-27\sigma '_{3}=-{\frac {1}{8}}\left(-2\sigma _{1}^{3}+9\sigma _{1}\sigma _{2}-27\sigma _{3}\right)$,

car le polynôme $-2(X_{1}+X_{2}+X_{3})^{3}+9(X_{1}+X_{2}+X_{3})(X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3})-27X_{1}X_{2}X_{3}$ est non seulement homogène mais invariant par translation (cf. exercice 2-9 de la leçon sur l'équation du troisième degré).

Remarques

On pouvait calculer les $\sigma '_{i}$ directement, mais on peut aussi les déduire des $\sigma _{i}$ : les $b_{i}$ sont les racines de

$(\sigma _{1}-2b)^{3}-\sigma _{1}(\sigma _{1}-2b)^{2}+\sigma _{2}(\sigma _{1}-2b)-\sigma _{3}=0$

qui équivaut à

$b^{3}-\sigma _{1}b^{2}+{\frac {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}}{4}}b+{\frac {\sigma _{3}-\sigma _{1}\sigma _{2}}{8}}=0$

donc

$\sigma '_{1}=\sigma _{1}={\frac {c}{a}}$,

$\sigma '_{2}={\frac {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}}{4}}={\frac {c^{2}+bd-4ae}{4a^{2}}}$,

$\sigma '_{3}={\frac {\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{3}}{8}}={\frac {bcd-b^{2}e-ad^{2}}{8a^{3}}}$.

Les polynômes symétriques élémentaires $\sigma ''_{i}$ associés aux $y_{i}:=-2b_{i}=a_{i}-\sigma _{1}$ sont

$\sigma ''_{1}=-2\sigma '_{1},\quad \sigma ''_{2}=4\sigma '_{2},\quad \sigma ''_{3}=-8\sigma '_{3}$.

Lorsque $(a,b,c,d,e)=(1,0,p,q,r)$, on a donc :

${\begin{aligned}\sigma _{1}&=p,&\sigma _{2}&=-4r,&\sigma _{3}&=q^{2}-4pr,\\\sigma ''_{1}&=-2p,&\sigma ''_{2}&=p^{2}-4r,&\sigma ''_{3}&=q^{2}.\end{aligned}}$

Ces cas particuliers interviennent dans la méthode de Lagrange (chapitre 7) pour les $\sigma ''_{i}$, et dans sa variante (exercice 7-3) pour les $\sigma _{i}$.

 

Exercice 2-4

Soit quatre nombres a, b, c, d vérifiant :

${\begin{cases}a+b+c+d=0\\a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=0.\end{cases}}$

Montrer que l’on a alors la relation suivante :

$(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})^{2}=4(a^{8}+b^{8}+c^{8}+d^{8})$.

Solution

On a vu dans le cours comment exprimer les sommes de Newton $p_{k}=a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}$ en fonction des polynômes symétriques élémentaires $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}$ en $a,b,c,d$, en particulier :

$p_{1}=\sigma _{1}$ ;

$p_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}$ ;

$p_{4}=\sigma _{1}p_{3}-\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{1}-4\sigma _{4}$ ;

$p_{5}=\sigma _{1}p_{4}-\sigma _{2}p_{3}+\sigma _{3}p_{2}-\sigma _{4}p_{1}$ ;

$p_{8}=\sigma _{1}p_{7}-\sigma _{2}p_{6}+\sigma _{3}p_{5}-\sigma _{4}p_{4}$.

Si $p_{1}=p_{2}=0$, ces relations se simplifient en :

$\sigma _{1}=\sigma _{2}=0$

$p_{4}=-4\sigma _{4}$

$p_{5}=0$

$p_{8}=-\sigma _{4}p_{4}$,

ce qui donne bien :

$p_{4}^{2}=-4\sigma _{4}p_{4}=4p_{8}$.

 

Exercice 2-5

En appliquant la preuve du théorème fondamental des fonctions symétriques, exprimez, en fonction des quatre polynômes symétriques élémentaires en $X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$, les dix polynômes suivants (les $S_{k,l,m,n}$ sont définis dans cette preuve) :

$S_{2,1,0,0},\;S_{2,1,1,0},\;S_{2,2,0,0},\;S_{2,2,1,0},\;S_{2,2,2,0},\;S_{3,2,1,0},\;S_{3,2,2,0},\;S_{3,3,0,0},\;S_{3,3,1,0},\;S_{3,3,2,0}$

et tester, pour $X_{1}=X_{2}=X_{3}=X_{4}=1$, les égalités obtenues.

Solution

1. $S_{2,1,0,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3}$,
   $12=4\times 6-3\times 4$.
2. $S_{2,1,1,0}=\sigma _{1}\sigma _{3}-4\sigma _{4}$,
   $12=4\times 4-4\times 1$.
3. $S_{2,2,0,0}=\sigma _{2}^{2}-2S_{2,1,1,0}-6\sigma _{4}=\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{3}+2\sigma _{4}$,
   $6=6^{2}-2\times 4\times 4+2\times 1$.
4. $S_{2,2,1,0}=\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}\sigma _{1}$,
   $12=6\times 4-3\times 1\times 4$.
5. $S_{2,2,2,0}=\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{2}$,
   $4=4^{2}-2\times 1\times 6$.
6. $S_{3,2,1,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}p_{2}-12S_{2,2,2,0}-2\sigma _{4}\sigma _{2}$
   $=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-12(\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{2})-2\sigma _{4}\sigma _{2}$
   $=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}\sigma _{1}^{2}+28\sigma _{4}\sigma _{2}-12\sigma _{3}^{2}$,
   $24=4\times 6\times 4-3\times 1\times 4^{2}+28\times 1\times 6-12\times 4^{2}$.
7. $S_{3,2,2,0}=\sigma _{1}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}S_{2,1,0,0}-7\sigma _{4}\sigma _{3}=\sigma _{1}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{4}\sigma _{3}$,
   $12=4\times 4^{2}-2\times 1\times 4\times 6-1\times 4$.
8. $S_{3,3,0,0}=\sigma _{2}^{3}-3S_{3,2,1,0}-6\sigma _{4}p_{2}-6S_{2,2,2,0}-15\sigma _{4}\sigma _{2}$
   $=\sigma _{2}^{3}-3(\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}\sigma _{1}^{2}+28\sigma _{4}\sigma _{2}-12\sigma _{3}^{2})-6\sigma _{4}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-6(\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{2})-15\sigma _{4}\sigma _{2}$
   $=\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+3\sigma _{4}\sigma _{1}^{2}-72\sigma _{4}\sigma _{2}+30\sigma _{3}^{2}-3\sigma _{4}\sigma _{2}$,
   $6=6^{3}-3\times 4\times 6\times 4+3\times 1\times 4^{2}-72\times 1\times 6+30\times 4^{2}-3\times 1\times 6$.
9. $S_{3,3,1,0}=\sigma _{2}^{2}\sigma _{3}-2S_{3,2,2,0}-5\sigma _{4}S_{2,1,0,0}-12\sigma _{4}\sigma _{3}$
   $=\sigma _{2}^{2}\sigma _{3}-2(\sigma _{1}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{4}\sigma _{3})-5\sigma _{4}(\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3})-12\sigma _{4}\sigma _{3}$
   $=\sigma _{2}^{2}\sigma _{3}-2\sigma _{1}\sigma _{3}^{2}-\sigma _{4}\sigma _{1}\sigma _{2}+5\sigma _{4}\sigma _{3}$,
   $12=6^{2}\times 4-2\times 4\times 4^{2}-1\times 4\times 6+5\times 1\times 4$.
10. $S_{3,3,2,0}=\sigma _{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}S_{2,2,0,0}-5\sigma _{4}S_{2,1,1,0}-12\sigma _{4}^{2}$
    $=\sigma _{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{3}+2\sigma _{4})-5\sigma _{4}(\sigma _{1}\sigma _{3}-4\sigma _{4})-12\sigma _{4}^{2}$
    $=\sigma _{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{4}\sigma _{1}\sigma _{3}+4\sigma _{4}^{2}$,
    $12=6\times 4^{2}-2\times 1\times 6^{2}-1\times 4\times 4+4\times 1^{2}$.