Leçons de niveau 14

Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les tracés de courbes

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Sur les tracés de courbes
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Exercices no3
Leçon : Équation du quatrième degré
Chapitre du cours : Fonctions polynômes du quatrième degré

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sur la somme et le produit des racines
Exo suiv. :Sur les méthodes particulières
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Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les tracés de courbes
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que si

,

alors Cf admet un axe de symétrie.

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit ζ la moyenne arithmétique des abscisses des points d'inflexion de la courbe Cf. Posons :

.

x1, x2, x3, x4 étant les quatre racines f, montrer que :

.

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient α, β, γ, les trois racines de .

Établir la relation :

.

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que l'équation :

a une racine double α et une racine simple β distincte de α.

Montrer qu'alors :

.

Vérifier aussi que si α = β, c'est-à-dire si l'équation :

a une racine triple α, alors :

.

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Dans cet exercice, on se place dans le cas où a est positif et Δ' est strictement positif.

Courbe quatrième degré barré.png

Soit α, β et γ les trois racines réelles de l'équation :

vérifiant α < β < γ.

On pose :

.

Montrer que

,

c'est-à-dire que la droite d'équation y = w passe entre les extremums comme indiqué sur le schéma.

En déduire que le signe du sottien permet de situer la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Montrer en particulier que le signe du sottien associé au signe du discriminant permet, dans certain cas, de mieux préciser la nature des racines de l'équation considérée.

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons vu que dans le cours que, lorsque le discriminant d'une équation du quatrième degré est strictement positif, l'équation admet soit deux couples de racines complexes conjuguées, soit quatre racines réelles distinctes. Selon le cas, nous avions alors les deux tracés possibles (en supposant a > 0 et Δ' > 0) :

Les 2 cas qui peuvent se présenter
a > 0 premier cas deuxième cas
Courbe quatrième degré 04.png Courbe quatrième degré 08.GIF

Le discriminant étant dans l'impossibilité de différencier ces deux cas, peut-on trouver une autre expression s'exprimant à l'aide des coefficients et qui serait négative dans le premier cas et positive dans le deuxième cas ?

  • Si la réponse est oui, donner une telle expression.
  • Si la réponse est non, expliquer pourquoi.