Leçons de niveau 14

Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les généralités

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Sur les généralités
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Exercices no1
Leçon : Équation du quatrième degré
Chapitre du cours : Généralités sur les équations du quatrième degré

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Sur la somme et le produit des racines
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Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les généralités
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient un polynôme de degré 3 et . Montrer que

.

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit P un polynôme de degré 4, P' (de degré 3) son polynôme dérivé, et α une racine de P.

a) Montrer que α est racine multiple de P si et seulement si α est racine de P', et que α est même racine triple (au moins) de P si et seulement si α est même racine double (au moins) de P'.

b) Résoudre l'équation :

.

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Dans cet exercice, nous allons étudier une méthode de résolution graphique des équations du quatrième degré. Cette méthode permet de trouver les racines réelles mais pas les racines complexes.

Soit donc à résoudre l'équation du quatrième degré suivante :

On sait (chapitre 4 et exercice 4-6) qu'en posant :

,

on se ramène à une équation (sans terme de degré 3) de la forme :

.

On considère, dans un repère orthonormé, la parabole élémentaire H d'équation y = x2.

Montrer qu'alors, les racines de l'équation :

sont les abscisses des points d'interceptions de la parabole H avec un cercle dont on donnera le centre et le rayon en fonction de p, q, r.