Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les généralités

Exercice 1-1

Soient $P$ un polynôme de degré 3 et $Q(X)=(X-\alpha )P(X)$. Montrer que

$\Delta _{Q}=\Delta _{P}\times (P(\alpha ))^{2}$.

Solution

On pourrait développer les deux membres en fonction de $\alpha$ et des coefficients de $P$ (qui déterminent ceux de $Q$) et constater qu'on obtient bien le même résultat. Mais il est bien moins pénible de procéder comme dans l'exercice analogue de la leçon sur l'équation de degré 3 (exercice 1-5) :

Notons $P(X)=a(X-\beta )(X-\gamma )(X-\delta )$.

$\Delta _{Q}=a^{6}(\alpha -\beta )^{2}(\alpha -\gamma )^{2}(\alpha -\delta )^{2}(\beta -\gamma )^{2}(\beta -\delta )^{2}(\gamma -\delta )^{2}=a^{4}(\beta -\gamma )^{2}(\beta -\delta )^{2}(\gamma -\delta )^{2}\times (P(\alpha ))^{2}=\Delta _{P}\times (P(\alpha ))^{2}$.

Pour une généralisation, voir Résultant/Exercices/Discriminant#Exercice 2.

 

Exercice 1-2

Soit P un polynôme de degré 4, P' (de degré 3) son polynôme dérivé, et α une racine de P.

a) Montrer que α est racine multiple de P si et seulement si α est racine de P', et que α est même racine triple (au moins) de P si et seulement si α est même racine double (au moins) de P'.

b) Résoudre l'équation :

$x^{4}-(1+2{\sqrt {2}})x^{3}+3x^{2}{\sqrt {2}}-2(3-2{\sqrt {2}})x-2(2-{\sqrt {2}})=0$.

Solution

a) Sans perte de généralité (par changement de variable $Y=X-\alpha$) supposons que α = 0.

Puisque 0 est racine de P, celui-ci s'écrit :

$P(X)=aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX$,

d'où

$P'(X)=4aX^{3}+3bX^{2}+2cX+d$.

0 est racine d'ordre au moins k de P si et seulement si P(X) est multiple de X^k, ce qui équivaut à :

• pour k = 2 : d = 0, c'est-à-dire P'(X) multiple de X ;
• pour k = 3 : d = c = 0, , c'est-à-dire P'(X) multiple de X² ;
• pour k = 4 : d = c = b = 0, , c'est-à-dire P'(X) multiple de X³.

0 (supposé racine de P) est donc racine d'ordre au moins k de P si et seulement s'il est racine d'ordre au moins k – 1 de P'.

b) En utilisant ce qui précède, résolvons l'équation :

$P(x)=0$,

où

$P(X)=X^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e$

avec :

$b=-(1+2{\sqrt {2}}),\qquad c=3{\sqrt {2}},\qquad d=-2(3-2{\sqrt {2}}),\qquad e=-2(2-{\sqrt {2}})$.

$P'(X)=4X^{3}+3bX^{2}+2cX+d$

$P''(X)=12X^{2}+6bX+2c=6\left(2X^{2}-(1+2{\sqrt {2}})X+{\sqrt {2}}\right)=6\left(2X-1\right)\left(X-{\sqrt {2}}\right)$.

Les racines de P’’ sont donc ${\frac {1}{2}}$ et ${\sqrt {2}}$. On constate que ${\sqrt {2}}$ est également racine de P'. Par conséquent (exercice 1-3 de la leçon sur l'équation du troisième degré), ${\sqrt {2}}$ est racine double (au moins) de P'. On constate de plus que ${\sqrt {2}}$ est racine de P. Par conséquent (question précédente), ${\sqrt {2}}$ est racine triple (au moins) de P. Pour trouver la quatrième racine, il suffit d'écrire, par exemple, que la somme des racines est égale à $-b$. On trouve finalement que les quatre racines de l'équation sont :

$x_{0}=x_{1}=x_{2}={\sqrt {2}},\quad x_{3}=1-{\sqrt {2}}$.

 

Exercice 1-3

Dans cet exercice, nous allons étudier une méthode de résolution graphique des équations du quatrième degré. Cette méthode permet de trouver les racines réelles mais pas les racines complexes.

Soit donc à résoudre l'équation du quatrième degré suivante :

$aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e=0~$

On sait (chapitre 4 et exercice 4-6) qu'en posant :

$X=x-{\frac {b}{4a}}$,

on se ramène à une équation (sans terme de degré 3) de la forme :

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$.

On considère, dans un repère orthonormé, la parabole élémentaire H d'équation y = x².

Montrer qu'alors, les racines de l'équation :

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$

sont les abscisses des points d'interceptions de la parabole H avec un cercle dont on donnera le centre et le rayon en fonction de p, q, r.

Solution

L'équation :

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$

peut s'écrire :

$x^{4}+x^{2}+(p-1)x^{2}+qx+r=0$.

En posant y = x², l'équation peut s'écrire sous la forme :

$y^{2}+x^{2}+(p-1)y+qx+r=0$,

qui fait penser à l'équation d'un cercle dont la forme canonique s'écrirait :

$\left(y+{\frac {p-1}{2}}\right)^{2}+\left(x+{\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {(p-1)^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}}{4}}-r$.

Ce sera l'équation d'un cercle si :

${\frac {(p-1)^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}}{4}}-r>0$,

auquel cas ce cercle aura pour centre le point de coordonnées :

$\left({\frac {1-p}{2}},-{\frac {q}{2}}\right)$

et pour rayon :

$R={\frac {\sqrt {(p-1)^{2}+q^{2}-4r}}{2}}$.

Nous voyons que nous sommes ramenés à résoudre le système :

${\begin{cases}y=x^{2}\\\left(y+{\frac {p-1}{2}}\right)^{2}+\left(x+{\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {(p-1)^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}}{4}}-r.\end{cases}}$

Nous pouvons résoudre graphiquement ce système en prenant une feuille de papier millimétré, sur laquelle on tracera soigneusement la parabole d'équation y = x² et le cercle dont le centre et le rayon sont spécifiés ci-dessus. Les racines réelles de l'équation :

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$

seront les abscisses des points d'interceptions de l'hyperbole et du cercle.

Remarque 1

Nous avons résolu graphiquement l'équation :

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$

mais il ne faut pas oublier qu'en réalité, l'équation à résoudre était :

$aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e=0$

et que nous avons posé :

$X=x-{\frac {b}{4a}}$.

Nous avons trouvé les valeurs de x et il nous faudrait maintenant utiliser cette dernière formule pour trouver les valeurs de X. Toutefois, compte tenu du fait que nous venons d’utiliser une méthode graphique, ce qui sous-entend une certaine imprécision due au tracé, nous pouvons avantageusement remplacer la dernière formule par :

$X=x-{\frac {b}{4a}}-{\frac {f(x-{\frac {b}{4a}})}{f'\left(x-{\frac {b}{4a}}\right)}}$

en posant :

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$.

Cette dernière formule présente l'avantage d'améliorer considérablement la précision des racines. Voir à ce propos la méthode de Newton.

Remarque 2

La méthode graphique qui vient d’être établie peut aussi servir à résoudre les équations du troisième degré :

$aX^{3}+bX^{2}+cX+d=0$.

On commence par poser :

$X=x-{\frac {b}{3a}}$

pour se ramener à une équation de la forme :

$x^{3}+px+q=0$.

En multipliant tous les termes par x, on ajoute la racine x = 0 et l'on obtient :

$x^{4}+px^{2}+qx=0$,

qui est une équation du quatrième degré pouvant s'écrire :

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$

avec r = 0.

On peut alors procéder comme précédemment en prenant soin, à la fin, d'éliminer la solution x = 0.

Le fait que r = 0 n'est en aucune façon un problème. C'est même un avantage :

• Premièrement, parce que l'équation du cercle s'écrit :
  $\left(y+{\frac {p-1}{2}}\right)^{2}+\left(x+{\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {(p-1)^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}}{4}}$
  avec un second membre clairement toujours positif et par conséquent le rayon du cercle est toujours défini.
• Deuxièmement, le tracé du cercle est facilité. En effet, après avoir déterminé le centre, il suffira de faire passer le cercle par l'origine du repère pour que x = 0 soit solution.