Leçons de niveau 14

Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines

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Sur la somme et le produit des racines
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Exercices no2
Leçon : Équation du quatrième degré
Chapitre du cours : Généralités sur les équations du quatrième degré

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sur les généralités
Exo suiv. :Sur les tracés de courbes
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Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation :

1 - Donner les conditions nécessaires et suffisantes portant sur les coefficients de l'équation pour que celle-ci admette une racine double α et une racine double β.

2 - Donner alors une équation du second degré dont α et β sont racines.

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation :

.

Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients pour que l'une des racines de l'équation soit la moyenne arithmétique des trois autres.

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation :

.

Dans le cours, nous avons posé :

.

Montrez que est nul si et seulement si les quatre racines de l'équation vérifient l'une des trois relations suivantes :

 ;
 ;
.

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit quatre nombres a, b, c, d vérifiant :

Montrer que l’on a alors la relation suivante :

.

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

En appliquant la preuve du théorème fondamental des fonctions symétriques, exprimez, en fonction des quatre polynômes symétriques élémentaires en , les dix polynômes suivants (les sont définis dans cette preuve) :

et tester, pour , les égalités obtenues.