Trigonométrie/Les formules de trigonométrie

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Cette annexe va présenter une démonstration des formules de trigonométrie du chapitre 7 (page dont il serait très pratique d’avoir en parallèle avec ce cours, dans votre navigateur). Il existe des démonstrations ne relevant que de géométrie pure mais dans le but de généraliser les formules aux angles orientés et à valeur réelle (angles négatifs, angles supérieurs à 360°), nous allons devoir recourir à la géométrie analytique.

Notre priorité sera avant tout de montrer les deux formules concernant $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$. Toutes les autres en découleront immédiatement.

Les formules d'addition

Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.

Soient $a$ et $b$ deux réels. Dans un repère orthonormé $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$, posons $A$ et $B$ les points du cercle trigonométrique tels que

$({\vec {i}},{\overrightarrow {OA}})=a$ et $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})=b$.

Soit encore $A'$ le point du cercle trigonométrique tel que

$({\vec {i}},{\overrightarrow {OA'}})=a+{\frac {\pi }{2}}$.

Alors :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {OA}}&=(\cos a){\vec {i}}+(\sin a){\vec {j}}\\{\overrightarrow {OA'}}&=\cos \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right){\vec {i}}+\sin \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right){\vec {j}}\\&=-(\sin a){\vec {i}}+(\cos a){\vec {j}}\\{\overrightarrow {OB}}&=\cos(a+b){\vec {i}}+\sin(a+b){\vec {j}}.\end{aligned}}$

Mais dans le repère $(O;{\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OA'}})$,

${\begin{aligned}{\overrightarrow {OB}}&=(\cos b){\overrightarrow {OA}}+(\sin b){\overrightarrow {OA'}}\\&=(\cos b)((\cos a){\vec {i}}+(\sin a){\vec {j}})+(\sin b)\left(-(\sin a){\vec {i}}+(\cos a){\vec {j}}\right)\\&=(\cos a\cos b-\sin a\sin b){\vec {i}}+(\sin a\cos b+\cos a\sin b){\vec {j}}\end{aligned}}$

Or ${\overrightarrow {OB}}=\cos(a+b){\vec {i}}+\sin(a+b){\vec {j}}$.

Les composantes d’un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :

${\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b.\end{aligned}}$

Enfin,

${\begin{aligned}\tan(a+b)&={\frac {\sin(a+b)}{\cos(a+b)}}\\&={\frac {\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}}\\&={\frac {\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b}}\times {\frac {\cos a\cos b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}}\\&={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}.\end{aligned}}$

Démonstration géométrique

Construction

Soient :

• un cercle de centre $o$, de rayon $r$ ;
• trois point $r_{0},r_{1},r_{2}$ sur le cercle tels que ${\widehat {r_{0}or_{1}}}=a$ et ${\widehat {r_{1}or_{2}}}=b$ ;
• $h_{1},h_{2}$ les projetés orthogonaux de $r_{1},r_{2}$ sur $or_{0}$ ;
• $h_{3}$ le projeté orthogonal de $r_{2}$ sur $or_{1}$ ;
• $x$ le point d'intersection de $or_{1}$ et $r_{2}h_{2}$.

On remarque que :

• ${\frac {oh_{2}}{ox}}=\cos a$, ${\frac {h_{2}x}{ox}}=\sin a$, ${\frac {oh_{3}}{r}}=\cos b$, ${\frac {h_{3}r_{2}}{r}}=\sin b$ ;
• ${\widehat {oxh_{2}}}={\widehat {h_{3}xr_{2}}}\Rightarrow {\widehat {xr_{2}h_{3}}}=a\Rightarrow {\frac {h_{3}x}{h_{3}r_{2}}}=\tan a$ et ${\frac {h_{3}r_{2}}{xr_{2}}}=\cos a$ ;
• ${\frac {ox}{r}}={\frac {oh_{3}-h_{3}x}{r}}={\frac {oh_{3}}{r}}-{\frac {h_{3}x}{h_{3}r_{2}}}{\frac {h_{3}r_{2}}{r}}=\cos b-\tan a\sin b$.

cos(a + b)

${\begin{aligned}\cos(a+b)&={\frac {oh_{2}}{r}}\\&={\frac {ox\cos a}{r}}\\&=(\cos b-\tan a\sin b)\cos a\\&=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{aligned}}$

sin(a + b)

${\begin{aligned}\sin(a+b)&={\frac {h_{2}r_{2}}{r}}\\&={\frac {h_{2}x+xr_{2}}{r}}\\&={\frac {ox}{r}}\sin a+{\frac {xr_{2}}{h_{3}r_{2}}}{\frac {h_{3}r_{2}}{r}}\\&=(\cos b-\tan a\sin b)\sin a+{\frac {1}{\cos a}}\sin b\\&=\cos b\sin a+{\frac {\sin b}{\cos a}}(1-\sin ^{2}a)\\&=\cos b\sin a+\sin b\cos a.\end{aligned}}$

 

Les autres formules

En posant $a=b$, et en n'oubliant pas que $\cos ^{2}a+\sin ^{2}a=1$ — ou encore (en divisant les deux membres par $\cos ^{2}a$) : $1+\tan ^{2}a={\frac {1}{\cos ^{2}a}}$ — les formules de duplication viennent clairement.

Démonstration

${\begin{aligned}\cos(2a)&=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\\&=2\cos ^{2}a-\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\\&=2\cos ^{2}a-1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos(2a)&=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\\&=\cos ^{2}a+\sin ^{2}a-2\sin ^{2}a\\&=1-2\sin ^{2}a\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos(2a)&=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\\&=\left(1-\tan ^{2}a\right)\cos ^{2}a\\&={\frac {1-\tan ^{2}a}{1+\tan ^{2}a}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin(2a)&=2\sin a\cos a\\&=2\tan a\cos ^{2}a\\&={\frac {2\tan a}{1+\tan ^{2}a}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\tan(2a)&={\frac {\sin(2a)}{\cos(2a)}}\\&={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}\end{aligned}}$

 

De là, on trouve facilement les formules de linéarisation à l'aide de deux expressions de $\cos(2a)$.

Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :

$\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$

donc

$\cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}$

et, par un changement de variable, en posant $p=a+b$ et $q=a-b$,

$\cos p+\cos q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}}$.

La formule $\tan a+\tan b={\frac {\sin(a+b)}{\cos a\cos b}}$ se déduit directement de la formule d'addition pour $\sin$.