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Fonction dérivée : Dérivée d'un produit Fonction dérivée/Dérivée d'un produit », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Théorème Début d’un théorème
Théorème
La dérivée d'une fonction produit
f
=
u
×
v
{\displaystyle f=u\times v}
f
′
=
u
′
×
v
+
u
×
v
′
{\displaystyle f'=u'\times v+u\times v'}
Fin du théorème
Exemples
f
:
x
↦
(
5
x
2
+
3
)
.
(
2
x
+
3
)
{\displaystyle f:x\mapsto (5x^{2}+3).(2x+3)}
Pour tout
x
∈
…
{\displaystyle x\in \dots }
{
u
(
x
)
=
…
v
(
x
)
=
…
u
′
(
x
)
=
…
v
′
(
x
)
=
…
f
′
(
x
)
=
…
.
{\displaystyle {\begin{cases}u(x)=\ldots \\v(x)=\ldots \\u'(x)=\ldots \\v'(x)=\ldots \\f'(x)=\ldots .\end{cases}}}
f
′
(
3
)
=
…
{\displaystyle f'(3)=\ldots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
u
(
x
)
=
5
x
2
+
3
,
v
(
x
)
=
2
x
+
3
,
u
′
(
x
)
=
10
x
,
v
′
(
x
)
=
2
{\displaystyle u(x)=5x^{2}+3,\quad v(x)=2x+3,\quad u'(x)=10x,\quad v'(x)=2}
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
10
x
(
2
x
+
3
)
+
2
(
5
x
2
+
3
)
=
20
x
2
+
30
x
+
10
x
2
+
6
=
6
(
5
x
2
+
5
x
+
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&=10x(2x+3)+2(5x^{2}+3)\\&=20x^{2}+30x+10x^{2}+6\\&=6(5x^{2}+5x+1).\end{aligned}}}
f
′
(
3
)
=
366
{\displaystyle f'(3)=366}
Mêmes questions pour
f
:
x
↦
(
−
5
2
x
+
3
)
(
2
x
3
−
5
)
{\displaystyle f:x\mapsto \left(-{\frac {5}{2}}x+3\right)\left(2x^{3}-5\right)}
Solution
Pour tout
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
u
(
x
)
=
−
5
2
x
+
3
,
v
(
x
)
=
2
x
3
−
5
,
u
′
(
x
)
=
−
5
2
,
v
′
(
x
)
=
6
x
2
{\displaystyle u(x)=-{\frac {5}{2}}x+3,\quad v(x)=2x^{3}-5,\quad u'(x)=-{\frac {5}{2}},\quad v'(x)=6x^{2}}
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
−
5
2
(
2
x
3
−
5
)
+
6
x
2
(
−
5
2
x
+
3
)
=
−
5
x
3
+
25
2
−
15
x
3
+
18
x
2
=
−
20
x
3
+
18
x
2
+
25
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&=-{\frac {5}{2}}(2x^{3}-5)+6x^{2}\left(-{\frac {5}{2}}x+3\right)\\&=-5x^{3}+{\frac {25}{2}}-15x^{3}+18x^{2}\\&=-20x^{3}+18x^{2}+{\frac {25}{2}}.\end{aligned}}}
f
′
(
3
)
=
−
731
2
{\displaystyle f'(3)=-{\frac {731}{2}}}
Solution
Pour tout
x
∈
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle x\in ]0,+\infty [}
u
(
x
)
=
x
,
v
(
x
)
=
x
,
u
′
(
x
)
=
1
,
v
′
(
x
)
=
1
2
x
{\displaystyle u(x)=x,\quad v(x)={\sqrt {x}},\quad u'(x)=1,\quad v'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
x
+
x
2
x
=
x
+
x
2
=
3
2
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&={\sqrt {x}}+{\frac {x}{2{\sqrt {x}}}}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {\sqrt {x}}{2}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {x}}.\end{aligned}}}
f
′
(
3
)
=
3
2
3
{\displaystyle f'(3)={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}}
![{\displaystyle x\in ]0,+\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be0f8a2cc4631bf6a880eb1b0291ad20cd9628f)
