Leçons de niveau 12

Fonction dérivée/Dérivée de la puissance énième d'une fonction

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Dérivée de la puissance énième d'une fonction
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Chapitre no 8
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. :Dérivée d'un produit
Chap. suiv. :Dérivée d'un quotient
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Fonction dérivée/Dérivée de la puissance énième d'une fonction
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Problématique : Comment dériver directement des fonctions comme ou  ?

On donne une formule générale très simple à retenir et à appliquer.

Fonctions de la forme un[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque : Dans l’écriture , c’est bien le nombre qui est mis à la puissance n et pas seulement x.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On souhaite dériver la fonction définie sur

Ici on a :

  • Pour tout
  • n = 2
  • Pour tout

On applique le théorème :

  • u est dérivable sur , donc ƒ est dérivable sur
  • Pour tout
  • Donc d’après le théorème, pour tout


Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On souhaite dériver la fonction , définie sur

Ici on a :

  • Pour tout
  • n = 4
  • Pour tout

On applique le théorème :

  • u est dérivable sur , donc ƒ est dérivable sur
  • Pour tout
  • Donc d’après le théorème, pour tout

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On souhaite dériver la fonction (attention à cette notation !), définie sur .


Ici on a :

  • Pour tout
  • n = 3
  • Pour tout

On applique le théorème :

  • u est dérivable sur , donc ƒ est dérivable sur
  • Pour tout
  • Donc d’après le théorème, pour tout

Exercice[modifier | modifier le wikicode]

Dériver les trois fonctions suivantes:

, définie sur , définie sur , définie sur

Fonction de la forme 1/un[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque : Cette formule peut se démontrer en étendant la précédente à n négatif ou encore en appliquant u/v.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On souhaite dériver la fonction , définie sur un certain domaine I pour lequel ne s'annule pas.

Ici on a :

  • Pour tout
  • n = 2
  • Pour tout

On applique le théorème :

  • u est dérivable sur I et ne s'annule pas sur I, donc ƒ est dérivable sur I
  • Pour tout
  • Donc d’après le théorème, pour tout

Exercice[modifier | modifier le wikicode]

Dériver les trois fonctions suivantes :

  • , définie sur
  • , définie sur
  • , définie sur