Matrice/Matrices de changement de base

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Dans ce chapitre, les K-espaces vectoriels de dimensions finies E et F sont munis chacun de deux bases :

• $B$ et $B'$ sont deux bases de $E$ ;
• $C$ et $C'$ sont deux bases de $F$.

Nous allons définir les matrices de passage (ou matrices de changement de base) de $B$ à $B'$ et de $C$ à $C'$ qui, pour une application linéaire $u:E\to F$, vont permettre de faire le lien entre $\mathrm {Mat} _{B,C}(u)$ et $\mathrm {Mat} _{B',C'}(u)$.

Matrice de passage

Définition

La matrice de passage de $B$ à $B'$ est :

• la matrice $\mathrm {Mat} _{B',B}(\mathrm {Id_{E}} )$ de l'application identité Id_E, de E muni de la base $B'$ dans E muni de la base $B$

ou, ce qui est équivalent :

• la matrice dont les colonnes sont les coordonnées dans $B$ des vecteurs de $B'$.

Dans la première de ces deux définitions, les bases interviennent dans l'ordre opposé à celui de la terminologie.

Remarques

Soit $P$ la matrice de passage de $B$ à $B'$. Il résulte immédiatement de la définition que :

• $P$ est inversible : son inverse est la matrice de passage de $B'$ à $B$ ;
• si un même vecteur de E a pour coordonnées $X$ dans $B$ et $X'$ dans $B'$, alors $X=PX'$.

Changement de bases pour une application linéaire

Proposition

Soient :

• $u:E\to F$ une application linéaire ;
• $P$ la matrice de passage de $B$ à $B'$ (bases de $E$);
• $Q$ la matrice de passage de $C$ à $C'$ (bases de $F$).

Alors,

$\mathrm {Mat} _{B',C'}(u)=Q^{-1}\;\mathrm {Mat} _{B,C}(u)\;P$.

Démonstration

$u=\mathrm {Id} _{F}\circ u\circ \mathrm {Id} _{E}$ donc

$\mathrm {Mat} _{B',C'}(u)=\mathrm {Mat} _{C,C'}(\mathrm {Id} _{F})\mathrm {Mat} _{B,C}(u)\mathrm {Mat} _{B',B}(\mathrm {Id} _{E})=Q^{-1}\mathrm {Mat} _{B,C}(u)P$.